محول رافع مثالي يحوّل 15 V إلى 50 V لحمل 8 Ω بتردد 200 kHz. أوجد أصغر محاثة Lcrit للتوصيل المستمر.
Vin = 15 VVo = 50 Vf = 200 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
3.محركات التيار المستمرمتوسطة
يسحب محرك تيار مستمر 40 A من مصدر 110 V. مقاومة عضو إنتاجه 0,2 Ω وفواقده الدورانية (الاحتكاك ومقاومة الهواء والحديد) 163 W. أوجد كفاءته η.
V = 110 VIa = 40 ARa = 0,2 ΩProt = 163 W
η = %
4.محركات التيار المستمرصعبة
محرك تيار مستمر صغير مقاومة عضو إنتاجه 3 Ω ويعمل على 24 V. بإهمال الفواقد الدورانية، أوجد أكبر قدرة ميكانيكية Pmax يمكنه توليدها عند أي سرعة.
V = 24 VRa = 3 Ω
Pmax = W
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 33 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.
P = 33 kWpf = 0,8V = 240 V
Q = kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
محوّل أحادي الطور قدرته 150 kVA يغذّي حِملًا 88 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
Smax = 150 kVAP1 = 88 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
7.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 30 A من مصدر جهد خطه 208 V. معامل القدرة 0,75 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.
VL = 208 VIL = 30 Acos φ = 0,75
P = kW
8.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 250 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية QC التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3المحاليل
1.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Imax = 1,458 A
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 10,8/36 = 0,3
التيار المتوسط وتيار التموّج
Io = 10,8/10 = 1,08 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 25,2·0,3/(100·10⁻⁶·100·10³) = 0,756 A
تيار الذروة
Imax = 1,08 + 0,756/2 = 1,458 A
الإجابة
Imax = 1,458 A
2.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Lcrit = 1,26 µH
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 1 − 15/50 = 0,7
شرط الحد
ساوِ متوسط تيار المحث بنصف تيار التموّج وحُلّ لإيجاد L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
المحاثة الحرجة
Lcrit = 0,7(1 − 0,7)²·8/(2200·10³) = 1,26 µH
الإجابة
Lcrit = 1,26 µH
3.محركات التيار المستمر
الإجابة: η = 89,02 %
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
القدرات
Pin = 110·40 = 4400 W
Pdev = 102·40 = 4080 W
Pout = 4080 − 163 = 3917 W
الكفاءة
η = 3917/4400·100 = 89,02 %
الإجابة
η = 89,02 %
4.محركات التيار المستمر
الإجابة: Pmax = 48 W
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
القدرة كدالة في القوة الدافعة العكسية
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
أقصى قدرة
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·3) = 48 W
الإجابة
Pmax = 48 W
عند هذه النقطة تكون الكفاءة 50 % فقط، لذا تعمل المحركات الحقيقية فوق نصف السرعة بكثير.
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: Q = 24,75 kvar
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الزاوية
φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75
القدرة غير الفعّالة
Q = P·tan φ = 33·0,75 = 24,75 kvar
الإجابة
Q = 24,75 kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: ΔP = 32,17 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود
Q1 = 88·tan(arccos 0,7) = 89,78 kvar
أكبر قدرة فعلية كلية
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 89,78²) = 120,2 kW
القدرة الفعلية الإضافية
ΔP = 120,2 − 88 = 32,17 kW
الإجابة
ΔP = 32,17 kW
7.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 8,106 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الظاهرية
S = √3·VL·IL = √3·208·30 = 10,81 kVA
القدرة الفعلية
P = S·cos φ = 10,81·0,75 = 8,106 kW
الإجابة
P = 8,106 kW
8.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: QC = 171,2 kvar
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.