محول خافض مثالي يحوّل 36 V إلى 27 V لحمل 12 Ω بتردد 100 kHz. أوجد أصغر محاثة Lcrit للتوصيل المستمر.
Vin = 36 VVo = 27 Vf = 100 kHzR = 12 Ω
Lcrit = µH
3.محركات التيار المستمرمتوسطة
يعمل محرك تيار مستمر فيه k = 0,3 V·s/rad على 110 V. بإهمال جميع الفواقد عند اللاحمل، أوجد سرعة اللاحمل n0 بوحدة rpm.
V = 110 Vk = 0,3 V·s/rad
n0 = rpm
4.محركات التيار المستمرصعبة
محرك تيار مستمر صغير مقاومة عضو إنتاجه 0,5 Ω ويعمل على 24 V. بإهمال الفواقد الدورانية، أوجد أكبر قدرة ميكانيكية Pmax يمكنه توليدها عند أي سرعة.
V = 24 VRa = 0,5 Ω
Pmax = W
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 25 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.
P = 25 kWpf = 0,85V = 230 V
I = A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
محوّل أحادي الطور قدرته 200 kVA يغذّي حِملًا 123 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
Smax = 200 kVAP1 = 123 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
7.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 25 A من مصدر جهد خطه 415 V. معامل القدرة 0,82 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.
VL = 415 VIL = 25 Acos φ = 0,82
P = kW
8.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 75 kW عند معامل قدرة 0,7 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 75 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3المحاليل
1.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Imax = 2,181 A
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 3,6/12 = 0,3
التيار المتوسط وتيار التموّج
Io = 3,6/2,5 = 1,44 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 8,4·0,3/(68·10⁻⁶·25·10³) = 1,482 A
تيار الذروة
Imax = 1,44 + 1,482/2 = 2,181 A
الإجابة
Imax = 2,181 A
2.محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر
الإجابة: Lcrit = 15 µH
محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر: يُغلق مفتاح S للجزء D من كل دور T = 1/f. في الحالة المستقرة يكون متوسط جهد المحث صفرًا (توازن فولت·ثانية)، مما يعطي نسب التحويل المثالية في التوصيل المستمر: المحول الخافض Vo = D·Vin، والمحول الرافع Vo = Vin/(1 − D)، والمحول الخافض–الرافع العاكس |Vo| = Vin·D/(1 − D). المحول المثالي يحفظ القدرة: Vin·Iin = Vo·Io. وحين يكون S مغلقًا يرتفع تيار المحث بمقدار ΔIL = VL·D·T/L، حيث VL = Vin − Vo للمحول الخافض وVin للمحول الرافع والخافض–الرافع. وتموّج الخرج هو ΔVo = ΔIL/(8fC) للمحول الخافض وIo·D/(fC) للمحول الرافع والخافض–الرافع. ويلامس تيار المحث الصفر (حدّ التوصيل المستمر CCM) حين يساوي متوسط تيار المحث ΔIL/2.
دورة التشغيل
D = 27/36 = 0,75
شرط الحد
ساوِ متوسط تيار المحث بنصف تيار التموّج وحُلّ لإيجاد L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
المحاثة الحرجة
Lcrit = (1 − 0,75)·12/(2100·10³) = 15 µH
الإجابة
Lcrit = 15 µH
3.محركات التيار المستمر
الإجابة: n0 = 3501 rpm
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
سرعة اللاحمل
ω₀ = V/k = 110/0,3 = 366,7 rad/s
n0 = 60·366,7/(2π) = 3501 rpm
الإجابة
n0 = 3501 rpm
4.محركات التيار المستمر
الإجابة: Pmax = 288 W
محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة Ra على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + Ia·Ra. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·Ia، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·Ia = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·Ia، ويمثل فقد النحاس Ia²Ra والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − Ra·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/Ra. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/Ra كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.
القدرة كدالة في القوة الدافعة العكسية
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
أقصى قدرة
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·0,5) = 288 W
الإجابة
Pmax = 288 W
عند هذه النقطة تكون الكفاءة 50 % فقط، لذا تعمل المحركات الحقيقية فوق نصف السرعة بكثير.
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: I = 127,9 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
تيار الخط
الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.
I = P/(V·cos φ) = 25000/(230·0,85) = 127,9 A
الإجابة
I = 127,9 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: ΔP = 61,9 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود
Q1 = 123·tan(arccos 0,85) = 76,23 kvar
أكبر قدرة فعلية كلية
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 76,23²) = 184,9 kW
القدرة الفعلية الإضافية
ΔP = 184,9 − 123 = 61,9 kW
الإجابة
ΔP = 61,9 kW
7.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 14,74 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الظاهرية
S = √3·VL·IL = √3·415·25 = 17,97 kVA
القدرة الفعلية
P = S·cos φ = 17,97·0,82 = 14,74 kW
الإجابة
P = 14,74 kW
8.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 246,3 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.