نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 45 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 95% ومعامل قدرته 0,82 متأخرًا. جهد خط المصدر 690 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 45 kWη = 95%cos φ = 0,82V_L = 690 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 75 kVA و 4160/480 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 75 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 150 kVA مفقودات قلبه 750 W ومفقودات نحاسه 2250 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 50% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,85 متأخر. أوجد المفقودات الكلية P_loss بالواط عند هذا الحمل.

S = 150 kVAP_core = 750 WP_cu,fl = 2250 Wx = 0,5pf = 0,85

P_loss = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يأخذ حِمل حثي 8 A و 1656 W من مصدر أحادي الطور 230 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد X.

V = 230 VI = 8 AP = 1656 W

X = Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

محوّل أحادي الطور قدرته 100 kVA يغذّي حِملًا 35 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟

S_max = 100 kVAP₁ = 35 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 5 mH يجب أن ترنّ عند 60 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 60 HzL = 5 mH

C = µF

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 10 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال V_L على الملف.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يتصل محرك تيار مستمر فيه k = 1,2 N·m/A وR_a = 0,8 Ω بمصدر 220 V. أوجد عزم توقفه T_stall، أي العزم عند سرعة صفر.

V = 220 Vk = 1,2 N·m/AR_a = 0,8 Ω

T_stall = N·m

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر صغير مقاومة عضو إنتاجه 2 Ω ويعمل على 24 V. بإهمال الفواقد الدورانية، أوجد أكبر قدرة ميكانيكية P_max يمكنه توليدها عند أي سرعة.

V = 24 VR_a = 2 Ω

P_max = W

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 48,34 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 45/0,95 = 47,37 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 47368/(√3·690·0,82) = 48,34 A

الإجابة

I_L = 48,34 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 16,2 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,8) = 50·0,75 = 37,5 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,2 kvar

الإجابة

Q_C = 16,2 kvar

3.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 18,03 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 75000/4160 = 18,03 A

الإجابة

I_HV = 18,03 A

4.المحوّلات

الإجابة: P_loss = 1313 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس عند هذا الحمل

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·2250 = 562,5 W

المفقودات الكلية

مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.

P_loss = 750 + 562,5 = 1313 W

الإجابة

P_loss = 1313 W

الكفاءة عند هذا الحمل η = 97,98%.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: X = 12,53 Ω

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

المقاومة من القدرة الفعلية

R = P/I² = 1656/8² = 25,88 Ω

المفاعلة من المعاوقة

|Z| = V/I = 230/8 = 28,75 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(28,75² − 25,88²) = 12,53 Ω

الإجابة

X = 12,53 Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: ΔP = 58,41 kW

القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود

Q₁ = 35·tan(arccos 0,7) = 35,71 kvar

أكبر قدرة فعلية كلية

عند القدرة الاسمية الكاملة S = S_max، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 35,71²) = 93,41 kW

القدرة الفعلية الإضافية

ΔP = 93,41 − 35 = 58,41 kW

الإجابة

ΔP = 58,41 kW

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 1407 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,005) = 1407 µF

الإجابة

C = 1407 µF

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_L = 100,5 V

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

الجهد على الملف

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·150,8 = 100,5 V

الإجابة

V_L = 100,5 V

هذا Q = 10,05 مرة جهد المصدر.

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: T_stall = 330 N·m

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

تيار التوقف

I_a = V/R_a = 220/0,8 = 275 A

عزم التوقف

T_stall = 1,2·275 = 330 N·m

الإجابة

T_stall = 330 N·m

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: P_max = 72 W

القدرة كدالة في القوة الدافعة العكسية

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

أقصى قدرة

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·2) = 72 W

الإجابة

P_max = 72 W

عند هذه النقطة تكون الكفاءة 50 % فقط، لذا تعمل المحركات الحقيقية فوق نصف السرعة بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems