نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 12 A من مصدر جهد خطه 690 V. معامل القدرة 0,8 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 690 VI_L = 12 Acos φ = 0,8

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 120 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 250 kVA و 4160/480 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 250 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 50 kVA مفقودات قلبه 300 W. عند الحمل المقنَّن ومعامل قدرة 0,9 متأخر تكون كفاءته 99%. أوجد مفقودات النحاس عند الحمل الكامل P_cu,fl بالواط.

S = 50 kVAP_core = 300 Wpf = 0,9η = 99%

P_cu,fl = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 400 V: حِمل 29 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر وحِمل 12 kW بمعامل قدرة 0,95 متقدّم. أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.

V = 400 VP₁ = 29 kW, pf₁ = 0,7 متأخرP₂ = 12 kW, pf₂ = 0,95 متقدّم

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 3 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يُوصل مكثّف سعته 33 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 3 kWpf₁ = 0,8V = 230 Vf = 50 HzC = 33 µF

cos φ =

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة وملف موصولان على التوازي على مصدر 12 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعطي محرك تيار مستمر قدرة ميكانيكية قدرها 5,5 kW عند 1800 rpm. أوجد عزم العمود T.

P = 5,5 kWn = 1800 rpm

T = N·m

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر (k = 1,2 V·s/rad، R_a = 1 Ω) على مصدر ثابت 110 V حملًا بعزم 4,8 N·m. أوجد المقاومة على التوالي R_s التي تبطّئه إلى 400 rpm.

V = 110 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 1 ΩT = 4,8 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 11,47 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·690·12 = 14,34 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 14,34·0,8 = 11,47 kW

الإجابة

P = 11,47 kW

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 106,3 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,75) = 120·0,8819 = 105,8 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 47,71 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 15904/(314,2·690²) = 106,3 µF

الإجابة

C_ph = 106,3 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 60,1 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 250000/4160 = 60,1 A

الإجابة

I_HV = 60,1 A

4.المحوّلات

الإجابة: P_cu,fl = 154,5 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

قدرتا الخرج والدخل

P_out = 50·0,9 = 45 kW

P_in = 45000/0,99 = 45455 W

المفقودات الكلية ومفقودات النحاس

P_loss = 45455 − 45000 = 454,5 W

P_cu,fl = 454,5 − 300 = 154,5 W

الإجابة

P_cu,fl = 154,5 W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 120,9 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 29·tan(arccos 0,7) = 29,59 kvar

Q₂ = −12·tan(arccos 0,95) = −3,944 kvar

المجاميع

P = 29 + 12 = 41 kW

Q = 29,59 + (−3,944) = 25,64 kvar

S = √(41² + 25,64²) = 48,36 kVA

التيار الكلي

I = S/V = 48358/400 = 120,9 A

الإجابة

I = 120,9 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,8698

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 3·tan(arccos 0,8) = 2,25 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·33·10⁻⁶ = 548,4 var = 0,5484 kvar

Q₂ = 2,25 − 0,5484 = 1,702 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(3² + 1,702²) = 3,449 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 3/3,449 = 0,8698

الإجابة

cos φ = 0,8698

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 19,56 Ω

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_L = ωL = 2π·100·0,05 = 31,42 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 12/25 = 0,48 A

I_X = V/X_L = 12/31,42 = 0,382 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,48² + 0,382²) = 0,6134 A

المعاوقة

|Z| = V/I = 12/0,6134 = 19,56 Ω

الإجابة

|Z| = 19,56 Ω

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 758,7 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz

الإجابة

f₀ = 758,7 Hz

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: T = 29,18 N·m

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

السرعة بوحدة rad/s

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

العزم

T = P/ω = 5500/188,5 = 29,18 N·m

الإجابة

T = 29,18 N·m

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_s = 13,93 Ω

التيار والقوة الدافعة العكسية

I_a = 4,8/1,2 = 4 A

E = 1,2·41,89 = 50,27 V

المقاومة على التوالي

R_a + R_s = (110 − 50,27)/4 = 14,93 Ω

R_s = 13,93 Ω

الإجابة

R_s = 13,93 Ω

تبدد المقاومة 222,9 W؛ أما المقطِّع فيتحكم في السرعة بفقد أقل بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems