نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 55 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 88% ومعامل قدرته 0,88 متأخرًا. جهد خط المصدر 480 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 55 kWη = 88%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 250 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 5:1، طُبّق على ملفه الابتدائي جهد 1150 V. وُصلت مقاومة 8 Ω على طرفي الملف الثانوي. أوجد التيار الابتدائي I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1150 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 75 kVA مفقودات قلبه 225 W ومفقودات نحاسه 450 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 75 kVAP_core = 225 WP_cu,fl = 450 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 400 V: حِمل 27 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر وحِمل 8 kW بمعامل قدرة 0,85 متقدّم. أوجد معامل القدرة الكلي cos φ الذي يراه المصدر.

V = 400 VP₁ = 27 kW, pf₁ = 0,85 متأخرP₂ = 8 kW, pf₂ = 0,85 متقدّم

cos φ =

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 5 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يُوصل مكثّف سعته 68 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد تيار الخط الجديد I.

P = 5 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 68 µF

I = A

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 10 µF

φ = °

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 24 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 150 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر (k = 0,75 V·s/rad، R_a = 1 Ω) على 120 V. عند الحمل الكامل يسحب 15 A. بإهمال تيار اللاحمل، أوجد تنظيم سرعته SR = (n₀ − n_FL)/n_FL بالنسبة المئوية.

V = 120 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 1 ΩI_FL = 15 A

SR = %

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر 240 V مقاومة عضو إنتاجه 0,25 Ω. أوجد مقاومة البدء على التوالي R_st التي تحدّ تيار البدء إلى 60 A.

V = 240 VR_a = 0,25 ΩI_max = 60 A

R_st = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 85,43 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 55/0,88 = 62,5 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 62500/(√3·480·0,88) = 85,43 A

الإجابة

I_L = 85,43 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 138,3 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

الإجابة

Q_C = 138,3 kvar

3.المحوّلات

الإجابة: I₁ = 5,75 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

الجهد والتيار الثانويان

V₂ = 1150/5 = 230 V

I₂ = 230/8 = 28,75 A

التيار الابتدائي

المحوّل المثالي بلا مفقودات: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 5,75 A

الإجابة

I₁ = 5,75 A

تحقّق: الحمل المرئي من الملف الابتدائي هو a²·R_L = 200 Ω، و 1150/200 يعطي التيار نفسه.

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 53,03 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·450 = 225 → x = √(225/450) = 0,7071

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,7071·75 = 53,03 kVA

الإجابة

S_η,max = 53,03 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,9478

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 27·tan(arccos 0,85) = 16,73 kvar

Q₂ = −8·tan(arccos 0,85) = −4,958 kvar

المجاميع

P = 27 + 8 = 35 kW

Q = 16,73 + (−4,958) = 11,78 kvar

S = √(35² + 11,78²) = 36,93 kVA

معامل القدرة الكلي

cos φ = P/S = 35/36,93 = 0,9478 متأخر

الإجابة

cos φ = 0,9478

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 29,88 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 5·tan(arccos 0,65) = 5,846 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1130 var = 1,13 kvar

Q₂ = 5,846 − 1,13 = 4,716 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(5² + 4,716²) = 6,873 kVA

تيار الخط الجديد

I = S₂/V = 6873/230 = 29,88 A

الإجابة

I = 29,88 A

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −83,17 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−208,7)²) = 210,2 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−208,7/25) = −83,17°

الإجابة

φ = −83,17°

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 126,8 Ω

المفاعلة

X_C = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 72,3 − j74,95 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 30 + 72,3 − j74,95 = 102,3 − j74,95 Ω

|Z| = √(102,3² + 74,95²) = 126,8 Ω

الإجابة

|Z| = 126,8 Ω

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: SR = 14,29 %

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل وسرعة الحمل الكامل

n₀ = 60·120/(2π·0,75) = 1528 rpm

n_FL = 60·(120 − 15·1)/(2π·0,75) = 1337 rpm

تنظيم السرعة

SR = (1528 − 1337)/1337·100 = 14,29 %

الإجابة

SR = 14,29 %

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_st = 3,75 Ω

المقاومة الكلية

R_a + R_st = 240/60 = 4 Ω

مقاومة البدء

R_st = 4 − 0,25 = 3,75 Ω

الإجابة

R_st = 3,75 Ω

تُزال المقاومة على مراحل كلما تسارع المحرك وازدادت القوة الدافعة العكسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems