نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 11 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 93% ومعامل قدرته 0,88 متأخرًا. جهد خط المصدر 480 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 11 kWη = 93%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 300 kW عند معامل قدرة 0,7 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

مكبّر مقاومة خرجه 100 Ω يغذّي مكبّر صوت 4 Ω عبر محوّل مثالي. لأقصى نقل للقدرة يجب أن يبدو مكبّر الصوت 100 Ω من جهة المكبّر. أوجد نسبة اللفّات a = N₁/N₂.

R_s = 100 ΩR_L = 4 Ω

a =

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 500 kVA مفقودات قلبه 1500 W ومفقودات نحاسه 6000 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 500 kVAP_core = 1500 WP_cu,fl = 6000 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِمل معاوقته Z = 5 + j12 Ω موصول بمصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). أوجد القدرة الفعلية P التي يمتصها.

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω

P = W

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 9 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يُوصل مكثّف سعته 220 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد تيار الخط الجديد I.

P = 9 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 220 µF

I = A

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 22 µF يجب أن ترنّ عند 60 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 60 HzC = 22 µF

L = mH

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

I = A

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر فيه k = 0,3 V·s/rad على 24 V. بإهمال جميع الفواقد عند اللاحمل، أوجد سرعة اللاحمل n₀ بوحدة rpm.

V = 24 Vk = 0,3 V·s/rad

n₀ = rpm

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر 110 V مقاومة عضو إنتاجه 1,5 Ω. أوجد مقاومة البدء على التوالي R_st التي تحدّ تيار البدء إلى 10 A.

V = 110 VR_a = 1,5 ΩI_max = 10 A

R_st = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 16,17 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 11/0,93 = 11,83 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 11828/(√3·480·0,88) = 16,17 A

الإجابة

I_L = 16,17 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 1146 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,7) = 300·1,02 = 306,1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 207,5 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 69152/(377·400²) = 1146 µF

الإجابة

C_ph = 1146 µF

3.المحوّلات

الإجابة: a = 5

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

مواءمة الحمل المحوَّل

a²·4 = 100

a = √(100/4) = √25 = 5

الإجابة

a = 5

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 250 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·6000 = 1500 → x = √(1500/6000) = 0,5

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,5·500 = 250 kVA

الإجابة

S_η,max = 250 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: P = 1704 W

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

التيار

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A

القدرة الفعلية

P = I²·R = 18,46²·5 = 1704 W

الإجابة

P = 1704 W

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 49,22 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 9·tan(arccos 0,65) = 10,52 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3656 var = 3,656 kvar

Q₂ = 10,52 − 3,656 = 6,866 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(9² + 6,866²) = 11,32 kVA

تيار الخط الجديد

I = S₂/V = 11320/230 = 49,22 A

الإجابة

I = 49,22 A

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 319,8 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·22·10⁻⁶) = 319,8 mH

الإجابة

L = 319,8 mH

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,04203 A

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−236,1)²) = 238 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 10/238 = 0,04203 A

الإجابة

I = 0,04203 A

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: n₀ = 763,9 rpm

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل

ω₀ = V/k = 24/0,3 = 80 rad/s

n₀ = 60·80/(2π) = 763,9 rpm

الإجابة

n₀ = 763,9 rpm

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_st = 9,5 Ω

المقاومة الكلية

R_a + R_st = 110/10 = 11 Ω

مقاومة البدء

R_st = 11 − 1,5 = 9,5 Ω

الإجابة

R_st = 9,5 Ω

تُزال المقاومة على مراحل كلما تسارع المحرك وازدادت القوة الدافعة العكسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems