نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 100 A من مصدر جهد خطه 415 V. معامل القدرة 0,9 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 415 VI_L = 100 Acos φ = 0,9

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 80 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 5:1، طُبّق على ملفه الابتدائي جهد 1150 V. وُصلت مقاومة 8 Ω على طرفي الملف الثانوي. أوجد التيار الابتدائي I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 1150 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 200 kVA مفقودات قلبه 1600 W ومفقودات نحاسه 4800 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 50% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,9 متأخر. أوجد المفقودات الكلية P_loss بالواط عند هذا الحمل.

S = 200 kVAP_core = 1600 WP_cu,fl = 4800 Wx = 0,5pf = 0,9

P_loss = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 35 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 35 kWpf = 0,85V = 240 V

Q = kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

مصدر 120 V (فعّال)، 1000 Hz له معاوقة داخلية Z_s = 25 + j5 Ω. يمكن اختيار معاوقة الحِمل Z_L بحرية. الحِمل المناسب لأقصى قدرة مكوّن من مقاومة على التوالي مع مكثّف. أوجد السعة C.

V_s = 120 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 25 + j5 Ω

C = µF

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعطي محرك تيار مستمر قدرة ميكانيكية قدرها 3 kW عند 750 rpm. أوجد عزم العمود T.

P = 3 kWn = 750 rpm

T = N·m

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر صغير مقاومة عضو إنتاجه 4 Ω ويعمل على 110 V. بإهمال الفواقد الدورانية، أوجد أكبر قدرة ميكانيكية P_max يمكنه توليدها عند أي سرعة.

V = 110 VR_a = 4 Ω

P_max = W

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 64,69 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·415·100 = 71,88 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 71,88·0,9 = 64,69 kW

الإجابة

P = 64,69 kW

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 110,4 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,65) = 80·1,169 = 93,53 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 59,45 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19817/(377·690²) = 110,4 µF

الإجابة

C_ph = 110,4 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I₁ = 5,75 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

الجهد والتيار الثانويان

V₂ = 1150/5 = 230 V

I₂ = 230/8 = 28,75 A

التيار الابتدائي

المحوّل المثالي بلا مفقودات: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 5,75 A

الإجابة

I₁ = 5,75 A

تحقّق: الحمل المرئي من الملف الابتدائي هو a²·R_L = 200 Ω، و 1150/200 يعطي التيار نفسه.

4.المحوّلات

الإجابة: P_loss = 2800 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس عند هذا الحمل

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·4800 = 1200 W

المفقودات الكلية

مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.

P_loss = 1600 + 1200 = 2800 W

الإجابة

P_loss = 2800 W

الكفاءة عند هذا الحمل η = 96,98%.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 21,69 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 35·0,6197 = 21,69 kvar

الإجابة

Q = 21,69 kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: C = 31,83 µF

المواءمة المرافقة

مفاعلة الحِمل تلغي مفاعلة المصدر، ومقاومة الحِمل تساوي مقاومة المصدر.

Z_L = Z_s* = 25 − j5 Ω

السعة

X_C = 5 Ω → C = 1/(2π·1000·5) = 31,83 µF

الإجابة

C = 31,83 µF

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 1,04 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (26,66)²) = 48,07 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/48,07 = 1,04 A

الإجابة

I = 1,04 A

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 36,57 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−236,1)²) = 237,4 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/237,4 = 0,1011 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,1011·361,7 = 36,57 V

الإجابة

V_C = 36,57 V

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: T = 38,2 N·m

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

السرعة بوحدة rad/s

ω = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

العزم

T = P/ω = 3000/78,54 = 38,2 N·m

الإجابة

T = 38,2 N·m

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: P_max = 756,3 W

القدرة كدالة في القوة الدافعة العكسية

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V

أقصى قدرة

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 110²/(4·4) = 756,3 W

الإجابة

P_max = 756,3 W

عند هذه النقطة تكون الكفاءة 50 % فقط، لذا تعمل المحركات الحقيقية فوق نصف السرعة بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems