نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 80 A من مصدر جهد خطه 480 V. معامل القدرة 0,9 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 480 VI_L = 80 Acos φ = 0,9

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 60 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 100 kVA و 4800/240 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 100 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 200 kVA مفقودات قلبه 800 W ومفقودات نحاسه 2400 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 200 kVAP_core = 800 WP_cu,fl = 2400 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 240 V: حِمل 2 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر وسخّان قدرته 7 kW (معامل قدرة واحد). أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.

V = 240 VP₁ = 2 kW, pf₁ = 0,75 متأخرP₂ = 7 kW, pf₂ = 1

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

مصدر 10 V (فعّال)، 50 Hz له معاوقة داخلية Z_s = 4 + j10 Ω. يمكن اختيار معاوقة الحِمل Z_L بحرية. أوجد أقصى قدرة فعلية P_max يمكن نقلها إلى الحِمل.

V_s = 10 V (rms)f = 50 HzZ_s = 4 + j10 Ω

P_max = W

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 1 mH يجب أن ترنّ عند 2000 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 2000 HzL = 1 mH

C = µF

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 1 Ω و L = 20 mH و C = 10 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.

R = 1 ΩL = 20 mHC = 10 µF

B = Hz

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر فيه k = 1,2 V·s/rad على 220 V. بإهمال جميع الفواقد عند اللاحمل، أوجد سرعة اللاحمل n₀ بوحدة rpm.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/rad

n₀ = rpm

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر 220 V مقاومة عضو إنتاجه 0,2 Ω. أوجد مقاومة البدء على التوالي R_st التي تحدّ تيار البدء إلى 20 A.

V = 220 VR_a = 0,2 ΩI_max = 20 A

R_st = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 59,86 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·480·80 = 66,51 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 66,51·0,9 = 59,86 kW

الإجابة

P = 59,86 kW

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 704,4 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,72) = 60·0,9639 = 57,83 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 38,11 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12703/(314,2·239,6²) = 704,4 µF

الإجابة

C_ph = 704,4 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 20,83 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 100000/4800 = 20,83 A

الإجابة

I_HV = 20,83 A

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 115,5 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·2400 = 800 → x = √(800/2400) = 0,5774

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,5774·200 = 115,5 kVA

الإجابة

S_η,max = 115,5 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 38,21 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 2·tan(arccos 0,75) = 1,764 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

المجاميع

P = 2 + 7 = 9 kW

Q = 1,764 + 0 = 1,764 kvar

S = √(9² + 1,764²) = 9,171 kVA

التيار الكلي

I = S/V = 9171/240 = 38,21 A

الإجابة

I = 38,21 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: P_max = 6,25 W

المواءمة المرافقة

مفاعلة الحِمل تلغي مفاعلة المصدر، ومقاومة الحِمل تساوي مقاومة المصدر.

Z_L = Z_s* = 4 − j10 Ω

أقصى قدرة

I = V_s/(2R_s) = 10/8 = 1,25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 10²/(4·4) = 6,25 W

الإجابة

P_max = 6,25 W

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 6,333 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,001) = 6,333 µF

الإجابة

C = 6,333 µF

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: B = 7,958 Hz

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 44,72

عرض النطاق

B = f₀/Q = 355,9/44,72 = 7,958 Hz

الإجابة

B = 7,958 Hz

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: n₀ = 1751 rpm

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل

ω₀ = V/k = 220/1,2 = 183,3 rad/s

n₀ = 60·183,3/(2π) = 1751 rpm

الإجابة

n₀ = 1751 rpm

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_st = 10,8 Ω

المقاومة الكلية

R_a + R_st = 220/20 = 11 Ω

مقاومة البدء

R_st = 11 − 0,2 = 10,8 Ω

الإجابة

R_st = 10,8 Ω

تُزال المقاومة على مراحل كلما تسارع المحرك وازدادت القوة الدافعة العكسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems