نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Δ ممانعته 3 + j4 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 208 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 208 VZ = 3 + j4 Ω لكل طور

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 100 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 150 kVA و 10000/400 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_HV في ملف الجهد العالي.

S = 150 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 100 kVA مفقودات قلبه 600 W ومفقودات نحاسه 1800 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 25% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,95 متأخر. أوجد المفقودات الكلية P_loss بالواط عند هذا الحمل.

S = 100 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 1800 Wx = 0,25pf = 0,95

P_loss = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 8 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 400 V. أوجد تيار الخط I.

P = 8 kWpf = 0,75V = 400 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 17 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 47 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد تيار الخط الجديد I.

P = 17 kWpf₁ = 0,7V = 400 Vf = 60 HzC = 47 µF

I = A

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 0,47 µF يجب أن ترنّ عند 2000 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 2000 HzC = 0,47 µF

L = mH

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 20 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر (k = 0,2 N·m/A، R_a = 0,4 Ω) على 24 V ويدير حملًا بعزم 1,2 N·m. أوجد سرعته n بوحدة rpm.

V = 24 Vk = 0,2 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 1,2 N·m

n = rpm

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر (k = 1,5 V·s/rad، R_a = 1 Ω) على مصدر ثابت 120 V حملًا بعزم 6 N·m. أوجد المقاومة على التوالي R_s التي تبطّئه إلى 300 rpm.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1 ΩT = 6 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 15,58 kW

جهد الطور

V_ph = V_L = 208 V

تيار الطور

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I_ph = 208/5 = 41,6 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·41,6²·3 = 15,58 kW

الإجابة

P = 15,58 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 122,3 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,57 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8856/(314,2·480²) = 122,3 µF

الإجابة

C_ph = 122,3 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I_HV = 15 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_HV = S/V = 150000/10000 = 15 A

الإجابة

I_HV = 15 A

4.المحوّلات

الإجابة: P_loss = 712,5 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس عند هذا الحمل

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·1800 = 112,5 W

المفقودات الكلية

مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.

P_loss = 600 + 112,5 = 712,5 W

الإجابة

P_loss = 712,5 W

الكفاءة عند هذا الحمل η = 97,09%.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 26,67 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 8000/(400·0,75) = 26,67 A

الإجابة

I = 26,67 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 55,87 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·47·10⁻⁶ = 2835 var = 2,835 kvar

Q₂ = 17,34 − 2,835 = 14,51 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(17² + 14,51²) = 22,35 kVA

تيار الخط الجديد

I = S₂/V = 22349/400 = 55,87 A

الإجابة

I = 55,87 A

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 13,47 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·0,47·10⁻⁶) = 13,47 mH

الإجابة

L = 13,47 mH

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 57,66 Ω

المفاعلة

X_C = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 6,871 − j9,498 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 50 + 6,871 − j9,498 = 56,87 − j9,498 Ω

|Z| = √(56,87² + 9,498²) = 57,66 Ω

الإجابة

|Z| = 57,66 Ω

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: n = 1031 rpm

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

تيار عضو الإنتاج

I_a = T/k = 1,2/0,2 = 6 A

القوة الدافعة العكسية والسرعة

E = 24 − 6·0,4 = 21,6 V

ω = E/k = 108 rad/s → n = 1031 rpm

الإجابة

n = 1031 rpm

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_s = 17,22 Ω

التيار والقوة الدافعة العكسية

I_a = 6/1,5 = 4 A

E = 1,5·31,42 = 47,12 V

المقاومة على التوالي

R_a + R_s = (120 − 47,12)/4 = 18,22 Ω

R_s = 17,22 Ω

الإجابة

R_s = 17,22 Ω

تبدد المقاومة 275,5 W؛ أما المقطِّع فيتحكم في السرعة بفقد أقل بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems