نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 90 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 91% ومعامل قدرته 0,85 متأخرًا. جهد خط المصدر 400 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 90 kWη = 91%cos φ = 0,85V_L = 400 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 2:1، طُبّق على ملفه الابتدائي جهد 240 V. وُصلت مقاومة 12 Ω على طرفي الملف الثانوي. أوجد التيار الابتدائي I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 12 Ω

I₁ = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 150 kVA مفقودات قلبه 900 W. عند الحمل المقنَّن ومعامل قدرة 0,85 متأخر تكون كفاءته 97,5%. أوجد مفقودات النحاس عند الحمل الكامل P_cu,fl بالواط.

S = 150 kVAP_core = 900 Wpf = 0,85η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 240 V: حِمل 23 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر وسخّان قدرته 23 kW (معامل قدرة واحد). أوجد معامل القدرة الكلي cos φ الذي يراه المصدر.

V = 240 VP₁ = 23 kW, pf₁ = 0,8 متأخرP₂ = 23 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 35 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد تيار الخط الجديد I_new.

P = 35 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 24 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يسحب محرك تيار مستمر 20 A من مصدر 120 V. مقاومة عضو إنتاجه 0,5 Ω وفواقده الدورانية (الاحتكاك ومقاومة الهواء والحديد) 110 W. أوجد كفاءته η.

V = 120 VI_a = 20 AR_a = 0,5 ΩP_rot = 110 W

η = %

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر 240 V مقاومة عضو إنتاجه 0,8 Ω. أوجد مقاومة البدء على التوالي R_st التي تحدّ تيار البدء إلى 50 A.

V = 240 VR_a = 0,8 ΩI_max = 50 A

R_st = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 167,9 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 90/0,91 = 98,9 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 98901/(√3·400·0,85) = 167,9 A

الإجابة

I_L = 167,9 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 744 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 48,3 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16101/(377·239,6²) = 744 µF

الإجابة

C_ph = 744 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I₁ = 5 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

الجهد والتيار الثانويان

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/12 = 10 A

التيار الابتدائي

المحوّل المثالي بلا مفقودات: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 5 A

الإجابة

I₁ = 5 A

تحقّق: الحمل المرئي من الملف الابتدائي هو a²·R_L = 48 Ω، و 240/48 يعطي التيار نفسه.

4.المحوّلات

الإجابة: P_cu,fl = 2369 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

قدرتا الخرج والدخل

P_out = 150·0,85 = 127,5 kW

P_in = 127500/0,975 = 130769 W

المفقودات الكلية ومفقودات النحاس

P_loss = 130769 − 127500 = 3269 W

P_cu,fl = 3269 − 900 = 2369 W

الإجابة

P_cu,fl = 2369 W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,9363

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 23·tan(arccos 0,8) = 17,25 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

المجاميع

P = 23 + 23 = 46 kW

Q = 17,25 + 0 = 17,25 kvar

S = √(46² + 17,25²) = 49,13 kVA

معامل القدرة الكلي

cos φ = P/S = 46/49,13 = 0,9363 متأخر

الإجابة

cos φ = 0,9363

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I_new = 155,3 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(49,46°) = 40,92 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,81 kvar

تيار الخط الجديد

I_new = P/(V·cos φ₂) = 35000/(230·0,98) = 155,3 A

الإجابة

I_new = 155,3 A

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −62,22 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−189,9)²) = 214,6 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−189,9/100) = −62,22°

الإجابة

φ = −62,22°

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 24,75 Ω

المفاعلة

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 7,755 − j9,745 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 15 + 7,755 − j9,745 = 22,75 − j9,745 Ω

|Z| = √(22,75² + 9,745²) = 24,75 Ω

الإجابة

|Z| = 24,75 Ω

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: η = 87,08 %

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

القدرات

P_in = 120·20 = 2400 W

P_dev = 110·20 = 2200 W

P_out = 2200 − 110 = 2090 W

الكفاءة

η = 2090/2400·100 = 87,08 %

الإجابة

η = 87,08 %

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_st = 4 Ω

المقاومة الكلية

R_a + R_st = 240/50 = 4,8 Ω

مقاومة البدء

R_st = 4,8 − 0,8 = 4 Ω

الإجابة

R_st = 4 Ω

تُزال المقاومة على مراحل كلما تسارع المحرك وازدادت القوة الدافعة العكسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems