نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Δ ممانعته 8 + j6 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 415 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 415 VZ = 8 + j6 Ω لكل طور

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 150 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 10 kVA و 11000/400 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_LV في ملف الجهد المنخفض.

S = 10 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 250 kVA مفقودات قلبه 2000 W ومفقودات نحاسه 8000 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 250 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 8000 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 13 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.

P = 13 kWpf = 0,6V = 230 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 40 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد السعة C اللازمة.

P = 40 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz

C = µF

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع L = 100 mH يجب أن ترنّ عند 200 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f₀ = 200 HzL = 100 mH

C = µF

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يتصل محرك تيار مستمر فيه k = 0,6 N·m/A وR_a = 0,25 Ω بمصدر 240 V. أوجد عزم توقفه T_stall، أي العزم عند سرعة صفر.

V = 240 Vk = 0,6 N·m/AR_a = 0,25 Ω

T_stall = N·m

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر مستقل الإثارة (k = 0,75 V·s/rad عند المجال الكامل، R_a = 1 Ω، V = 110 V) حملًا بعزم ثابت قدره 3 N·m. يُخفَّض فيض المجال إلى 85 % من قيمته الكاملة. أوجد السرعة الجديدة n.

V = 110 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 1 ΩT = 3 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 41,33 kW

جهد الطور

V_ph = V_L = 415 V

تيار الطور

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 415/10 = 41,5 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·41,5²·8 = 41,33 kW

الإجابة

P = 41,33 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,8، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 961 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 144,9 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 48304/(314,2·400²) = 961 µF

الإجابة

C_ph = 961 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I_LV = 25 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_LV = S/V = 10000/400 = 25 A

الإجابة

I_LV = 25 A

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 125 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·8000 = 2000 → x = √(2000/8000) = 0,5

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,5·250 = 125 kVA

الإجابة

S_η,max = 125 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 94,2 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 13000/(230·0,6) = 94,2 A

الإجابة

I = 94,2 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: C = 749,5 µF

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(53,13°) = 53,33 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(11,48°) = 8,122 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 45,21 kvar

السعة

المكثّف الموصول على المصدر يزوّد Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 45211/(2π·60·400²) = 749,5 µF

الإجابة

C = 749,5 µF

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: C = 6,333 µF

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,1) = 6,333 µF

الإجابة

C = 6,333 µF

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 225,1 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

الإجابة

f₀ = 225,1 Hz

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: T_stall = 576 N·m

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

تيار التوقف

I_a = V/R_a = 240/0,25 = 960 A

عزم التوقف

T_stall = 0,6·960 = 576 N·m

الإجابة

T_stall = 576 N·m

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: n = 1577 rpm

ثابت المحرك بعد الإضعاف

k₂ = 0,85·0,75 = 0,6375 V·s/rad

تيار عضو الإنتاج الجديد

I_a = 3/0,6375 = 4,706 A

السرعة الجديدة

ω = (110 − 4,706·1)/0,6375 = 165,2 rad/s → n = 1577 rpm

الإجابة

n = 1577 rpm

إضعاف المجال هو الطريقة التي يعمل بها مشغّل التيار المستمر فوق سرعته الأساسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems