نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Y ممانعته 12 + j9 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 400 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 400 VZ = 12 + j9 Ω لكل طور

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 300 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل مثالي نسبة لفّاته N₁:N₂ = 10:1، طُبّق على ملفه الابتدائي جهد 2400 V. وُصلت مقاومة 24 Ω على طرفي الملف الثانوي. أوجد التيار الابتدائي I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2400 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 150 kVA مفقودات قلبه 900 W. عند الحمل المقنَّن ومعامل قدرة 0,9 متأخر تكون كفاءته 97,5%. أوجد مفقودات النحاس عند الحمل الكامل P_cu,fl بالواط.

S = 150 kVAP_core = 900 Wpf = 0,9η = 97,5%

P_cu,fl = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 4 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.

P = 4 kWpf = 0,6V = 230 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 40 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 240 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,92. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 40 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 47 µF يجب أن ترنّ عند 100 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 100 HzC = 47 µF

L = mH

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 230 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 80 ΩC = 10 µF

I = A

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر فيه k = 1,5 V·s/rad على 220 V. بإهمال جميع الفواقد عند اللاحمل، أوجد سرعة اللاحمل n₀ بوحدة rpm.

V = 220 Vk = 1,5 V·s/rad

n₀ = rpm

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر مستقل الإثارة (k = 0,8 V·s/rad عند المجال الكامل، R_a = 0,8 Ω، V = 220 V) حملًا بعزم ثابت قدره 9,6 N·m. يُخفَّض فيض المجال إلى 80 % من قيمته الكاملة. أوجد السرعة الجديدة n.

V = 220 Vk = 0,8 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 9,6 N·mΦ = 80 %

n = rpm

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 8,533 kW

جهد الطور

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

تيار الطور

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 230,9/15 = 15,4 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·15,4²·12 = 8,533 kW

الإجابة

P = 8,533 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,8، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 2268 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 136,8 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 45592/(377·230,9²) = 2268 µF

الإجابة

C_ph = 2268 µF

3.المحوّلات

الإجابة: I₁ = 1 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

الجهد والتيار الثانويان

V₂ = 2400/10 = 240 V

I₂ = 240/24 = 10 A

التيار الابتدائي

المحوّل المثالي بلا مفقودات: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1 A

الإجابة

I₁ = 1 A

تحقّق: الحمل المرئي من الملف الابتدائي هو a²·R_L = 2400 Ω، و 2400/2400 يعطي التيار نفسه.

4.المحوّلات

الإجابة: P_cu,fl = 2562 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

قدرتا الخرج والدخل

P_out = 150·0,9 = 135 kW

P_in = 135000/0,975 = 138462 W

المفقودات الكلية ومفقودات النحاس

P_loss = 138462 − 135000 = 3462 W

P_cu,fl = 3462 − 900 = 2562 W

الإجابة

P_cu,fl = 2562 W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 28,99 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 4000/(230·0,6) = 28,99 A

الإجابة

I = 28,99 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 23,77 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,77 kvar

الإجابة

Q_C = 23,77 kvar

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 53,89 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·47·10⁻⁶) = 53,89 mH

الإجابة

L = 53,89 mH

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 2,151 A

المفاعلة

X_C = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 75,25 − j18,91 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 30 + 75,25 − j18,91 = 105,2 − j18,91 Ω

|Z| = √(105,2² + 18,91²) = 106,9 Ω

التيار

I = V/|Z| = 230/106,9 = 2,151 A

الإجابة

I = 2,151 A

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: n₀ = 1401 rpm

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل

ω₀ = V/k = 220/1,5 = 146,7 rad/s

n₀ = 60·146,7/(2π) = 1401 rpm

الإجابة

n₀ = 1401 rpm

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: n = 3104 rpm

ثابت المحرك بعد الإضعاف

k₂ = 0,8·0,8 = 0,64 V·s/rad

تيار عضو الإنتاج الجديد

I_a = 9,6/0,64 = 15 A

السرعة الجديدة

ω = (220 − 15·0,8)/0,64 = 325 rad/s → n = 3104 rpm

الإجابة

n = 3104 rpm

إضعاف المجال هو الطريقة التي يعمل بها مشغّل التيار المستمر فوق سرعته الأساسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems