نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 45 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 90% ومعامل قدرته 0,82 متأخرًا. جهد خط المصدر 400 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 45 kWη = 90%cos φ = 0,82V_L = 400 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.المحوّلاتمتوسطة

محوّل أحادي الطور 500 kVA و 2400/240 V يعمل عند حمله المقنَّن. اعتبره مثاليًا. أوجد التيار I_LV في ملف الجهد المنخفض.

S = 500 kVAV₁ = 2400 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 75 kVA مفقودات قلبه 225 W ومفقودات نحاسه 900 W عند الحمل المقنَّن. يغذّي 50% من قدرته المقنَّنة بالـ kVA عند معامل قدرة 0,8 متأخر. أوجد المفقودات الكلية P_loss بالواط عند هذا الحمل.

S = 75 kVAP_core = 225 WP_cu,fl = 900 Wx = 0,5pf = 0,8

P_loss = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 400 V: حِمل 20 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر وحِمل 13 kW بمعامل قدرة 0,7 متقدّم. أوجد معامل القدرة الكلي cos φ الذي يراه المصدر.

V = 400 VP₁ = 20 kW, pf₁ = 0,75 متأخرP₂ = 13 kW, pf₂ = 0,7 متقدّم

cos φ =

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 7 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 68 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 7 kWpf₁ = 0,65V = 240 Vf = 60 HzC = 68 µF

cos φ =

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

مقاومة R₁ موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R₂ ومكثّف C، على مصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 100 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يتصل محرك تيار مستمر فيه k = 1 N·m/A وR_a = 1,2 Ω بمصدر 220 V. أوجد عزم توقفه T_stall، أي العزم عند سرعة صفر.

V = 220 Vk = 1 N·m/AR_a = 1,2 Ω

T_stall = N·m

10.محركات التيار المستمرصعبة

يدير محرك تيار مستمر (k = 0,4 V·s/rad، R_a = 0,5 Ω) على مصدر ثابت 110 V حملًا بعزم 10 N·m. أوجد المقاومة على التوالي R_s التي تبطّئه إلى 1000 rpm.

V = 110 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 10 N·mn = 1000 rpm

R_s = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 88,01 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 45/0,9 = 50 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 50000/(√3·400·0,82) = 88,01 A

الإجابة

I_L = 88,01 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 23,98 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,98 kvar

الإجابة

Q_C = 23,98 kvar

3.المحوّلات

الإجابة: I_LV = 2083 A

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

التيار المقنَّن

يحمل الملفان القدرة الظاهرية نفسها.

I_LV = S/V = 500000/240 = 2083 A

الإجابة

I_LV = 2083 A

4.المحوّلات

الإجابة: P_loss = 450 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس عند هذا الحمل

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,25·900 = 225 W

المفقودات الكلية

مفقودات القلب هي نفسها عند أي حمل.

P_loss = 225 + 225 = 450 W

الإجابة

P_loss = 450 W

الكفاءة عند هذا الحمل η = 98,52%.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,9913

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 20·tan(arccos 0,75) = 17,64 kvar

Q₂ = −13·tan(arccos 0,7) = −13,26 kvar

المجاميع

P = 20 + 13 = 33 kW

Q = 17,64 + (−13,26) = 4,376 kvar

S = √(33² + 4,376²) = 33,29 kVA

معامل القدرة الكلي

cos φ = P/S = 33/33,29 = 0,9913 متأخر

الإجابة

cos φ = 0,9913

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,722

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 7·tan(arccos 0,65) = 8,184 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·68·10⁻⁶ = 1477 var = 1,477 kvar

Q₂ = 8,184 − 1,477 = 6,707 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(7² + 6,707²) = 9,695 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 7/9,695 = 0,722

الإجابة

cos φ = 0,722

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 3,61 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (21,9)²) = 33,24 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 120/33,24 = 3,61 A

الإجابة

I = 3,61 A

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 94,85 Ω

المفاعلة

X_C = 1/(2π·200·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Z_p إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 74,14 − j43,79 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 10 + 74,14 − j43,79 = 84,14 − j43,79 Ω

|Z| = √(84,14² + 43,79²) = 94,85 Ω

الإجابة

|Z| = 94,85 Ω

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: T_stall = 183,3 N·m

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

تيار التوقف

I_a = V/R_a = 220/1,2 = 183,3 A

عزم التوقف

T_stall = 1·183,3 = 183,3 N·m

الإجابة

T_stall = 183,3 N·m

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_s = 2,224 Ω

التيار والقوة الدافعة العكسية

I_a = 10/0,4 = 25 A

E = 0,4·104,7 = 41,89 V

المقاومة على التوالي

R_a + R_s = (110 − 41,89)/25 = 2,724 Ω

R_s = 2,224 Ω

الإجابة

R_s = 2,224 Ω

تبدد المقاومة 1390 W؛ أما المقطِّع فيتحكم في السرعة بفقد أقل بكثير.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems