نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 45 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 91% ومعامل قدرته 0,84 متأخرًا. جهد خط المصدر 690 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 45 kWη = 91%cos φ = 0,84V_L = 690 V

I_L = A

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

مكبّر مقاومة خرجه 10800 Ω يغذّي مكبّر صوت 75 Ω عبر محوّل مثالي. لأقصى نقل للقدرة يجب أن يبدو مكبّر الصوت 10800 Ω من جهة المكبّر. أوجد نسبة اللفّات a = N₁/N₂.

R_s = 10800 ΩR_L = 75 Ω

a =

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 250 kVA مفقودات قلبه 1500 W. عند الحمل المقنَّن ومعامل قدرة 0,8 متأخر تكون كفاءته 98,8%. أوجد مفقودات النحاس عند الحمل الكامل P_cu,fl بالواط.

S = 250 kVAP_core = 1500 Wpf = 0,8η = 98,8%

P_cu,fl = W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 7 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 400 V. أوجد تيار الخط I.

P = 7 kWpf = 0,8V = 400 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

محوّل أحادي الطور قدرته 25 kVA يغذّي حِملًا 15 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟

S_max = 25 kVAP₁ = 15 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد القدرة الفعلية P المسحوبة من المصدر.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 10 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال V_L على الملف.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

V_L = V

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر (k = 0,2 V·s/rad، R_a = 1 Ω) على 48 V. عند الحمل الكامل يسحب 5 A. بإهمال تيار اللاحمل، أوجد تنظيم سرعته SR = (n₀ − n_FL)/n_FL بالنسبة المئوية.

V = 48 Vk = 0,2 V·s/radR_a = 1 ΩI_FL = 5 A

SR = %

10.محركات التيار المستمرصعبة

محرك تيار مستمر 220 V مقاومة عضو إنتاجه 0,2 Ω. أوجد مقاومة البدء على التوالي R_st التي تحدّ تيار البدء إلى 40 A.

V = 220 VR_a = 0,2 ΩI_max = 40 A

R_st = Ω

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 49,26 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 45/0,91 = 49,45 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 49451/(√3·690·0,84) = 49,26 A

الإجابة

I_L = 49,26 A

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 1577 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 137 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 45654/(377·277,1²) = 1577 µF

الإجابة

C_ph = 1577 µF

3.المحوّلات

الإجابة: a = 12

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

مواءمة الحمل المحوَّل

a²·75 = 10800

a = √(10800/75) = √144 = 12

الإجابة

a = 12

4.المحوّلات

الإجابة: P_cu,fl = 929,1 W

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

قدرتا الخرج والدخل

P_out = 250·0,8 = 200 kW

P_in = 200000/0,988 = 202429 W

المفقودات الكلية ومفقودات النحاس

P_loss = 202429 − 200000 = 2429 W

P_cu,fl = 2429 − 1500 = 929,1 W

الإجابة

P_cu,fl = 929,1 W

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 21,88 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 7000/(400·0,8) = 21,88 A

الإجابة

I = 21,88 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: ΔP = 8,207 kW

القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود

Q₁ = 15·tan(arccos 0,85) = 9,296 kvar

أكبر قدرة فعلية كلية

عند القدرة الاسمية الكاملة S = S_max، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(25² − 9,296²) = 23,21 kW

القدرة الفعلية الإضافية

ΔP = 23,21 − 15 = 8,207 kW

الإجابة

ΔP = 8,207 kW

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: P = 375,2 W

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 56,55 Ω, X_C = 120,6 Ω

المعاوقة

|Z| = √(100² + (−64,02)²) = 118,7 Ω

القدرة الفعلية

الملفات والمكثّفات تخزّن الطاقة وتعيدها فقط؛ والمقاومة تمتص القدرة الفعلية كلها.

I = 230/118,7 = 1,937 A

P = I²·R = 1,937²·100 = 375,2 W

الإجابة

P = 375,2 W

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_L = 230,6 V

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,47·10⁻⁶) = 4613 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

الجهد على الملف

X_L = ω₀L = 4613·0,1 = 461,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·461,3 = 230,6 V

الإجابة

V_L = 230,6 V

هذا Q = 23,06 مرة جهد المصدر.

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: SR = 11,63 %

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

سرعة اللاحمل وسرعة الحمل الكامل

n₀ = 60·48/(2π·0,2) = 2292 rpm

n_FL = 60·(48 − 5·1)/(2π·0,2) = 2053 rpm

تنظيم السرعة

SR = (2292 − 2053)/2053·100 = 11,63 %

الإجابة

SR = 11,63 %

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: R_st = 5,3 Ω

المقاومة الكلية

R_a + R_st = 220/40 = 5,5 Ω

مقاومة البدء

R_st = 5,5 − 0,2 = 5,3 Ω

الإجابة

R_st = 5,3 Ω

تُزال المقاومة على مراحل كلما تسارع المحرك وازدادت القوة الدافعة العكسية.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems