نظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

المحوّلات

نسبة اللفّات: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
نسبة التيارات: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
التيار المقنَّن: I = S/V
الممانعة المحوَّلة: Z₁′ = a²·Z_L
مفقودات النحاس عند حمل جزئي: P_cu = x²·P_cu,fl
الكفاءة: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
أقصى كفاءة: x = √(P_core/P_cu,fl)

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

محركات التيار المستمر

دارة عضو الإنتاج: V = E + I_aR_a
القوة الدافعة العكسية والعزم: E = k·ω, T = k·I_a
السرعة: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
سرعة اللاحمل وعزم التوقف: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
القدرات: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
البدء: I_start = V/(R_a + R_st)
تنظيم السرعة: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
أقصى قدرة متولدة: P_max = V²/(4R_a)
المشغّل بالمقطِّع: V_a = D·V_dc

الطريقة

ارسم دارة عضو الإنتاج: المصدر V ومقاومة R_a والقوة الدافعة العكسية E على التوالي.
استخدم V = E + I_a·R_a للربط بين الجهد والتيار والقوة الدافعة العكسية.
استخدم E = k·ω للسرعة وT = k·I_a للعزم، مع ω = 2π·n/60.
للقدرة والكفاءة ابدأ من V·I_a واطرح فقد النحاس I_a²·R_a ثم الفواقد الدورانية.

2مسائل تدريبية

1.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Y ممانعته 3 + j4 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 415 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 415 VZ = 3 + j4 Ω لكل طور

P = kW

2.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 80 kW عند معامل قدرة 0,7 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.المحوّلاتمتوسطة

مكبّر مقاومة خرجه 1600 Ω يغذّي مكبّر صوت 16 Ω عبر محوّل مثالي. لأقصى نقل للقدرة يجب أن يبدو مكبّر الصوت 1600 Ω من جهة المكبّر. أوجد نسبة اللفّات a = N₁/N₂.

R_s = 1600 ΩR_L = 16 Ω

a =

4.المحوّلاتصعبة

محوّل أحادي الطور 75 kVA مفقودات قلبه 300 W ومفقودات نحاسه 900 W عند الحمل المقنَّن. عند أي حمل S_η,max، بالـ kVA، تكون كفاءته في أعلاها؟

S = 75 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 W

S_η,max = kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يأخذ حِمل حثي 17,5 A و 3150 W من مصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد X.

V = 240 VI = 17,5 AP = 3150 W

X = Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 10 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,95. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 10 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة ومكثّف موصولان على التوازي على مصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩC = 22 µF

I = A

8.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

9.محركات التيار المستمرمتوسطة

يعمل محرك تيار مستمر (k = 0,15 N·m/A، R_a = 0,4 Ω) على 48 V ويدير حملًا بعزم 0,9 N·m. أوجد سرعته n بوحدة rpm.

V = 48 Vk = 0,15 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 0,9 N·m

n = rpm

10.محركات التيار المستمرصعبة

يعمل محرك تيار مستمر مستقل الإثارة على 24 V (R_a = 0,8 Ω) بسرعة 1000 rpm وتيار عضو إنتاج 2 A. يتغير الحمل فيصبح التيار 3 A، مع بقاء المجال دون تغيير. أوجد السرعة الجديدة n₂.

V = 24 VR_a = 0,8 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 2 AI_a2 = 3 A

n₂ = rpm

3المحاليل

1.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 20,67 kW

جهد الطور

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

تيار الطور

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I_ph = 239,6/5 = 47,92 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·47,92²·3 = 20,67 kW

الإجابة

P = 20,67 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

2.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 250,9 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,7) = 80·1,02 = 81,62 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 65,37 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21791/(377·480²) = 250,9 µF

الإجابة

C_ph = 250,9 µF

3.المحوّلات

الإجابة: a = 10

المحوّل المثالي: نسبة الجهود تساوي نسبة اللفّات، ونسبة التيارات عكسها: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a و I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a، لذا القدرة الداخلة تساوي القدرة الخارجة، V₁·I₁ = V₂·I₂. ممانعة الحمل Z على الملف الثانوي تبدو a²·Z من جهة الملف الابتدائي.

مواءمة الحمل المحوَّل

a²·16 = 1600

a = √(1600/16) = √100 = 10

الإجابة

a = 10

4.المحوّلات

الإجابة: S_η,max = 43,3 kVA

مفقودات المحوّل: مفقودات القلب (التخلّف المغناطيسي والتيارات الدوّامية) تعتمد على الجهد وهي نفسها عند أي حمل. مفقودات النحاس في الملفات تتناسب مع مربع التيار، لذا عند جزء x من الحمل المقنَّن تكون x²·P_cu,fl. الكفاءة η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)، حيث P_out = x·S·pf. تكون الكفاءة في أعلاها عند الحمل الذي تتساوى فيه مفقودات النحاس مع مفقودات القلب.

مفقودات النحاس تساوي مفقودات القلب

x²·900 = 300 → x = √(300/900) = 0,5774

الحمل عند أقصى كفاءة

S_η,max = x·S = 0,5774·75 = 43,3 kVA

الإجابة

S_η,max = 43,3 kVA

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: X = 9,071 Ω

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

المقاومة من القدرة الفعلية

R = P/I² = 3150/17,5² = 10,29 Ω

المفاعلة من المعاوقة

|Z| = V/I = 240/17,5 = 13,71 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(13,71² − 10,29²) = 9,071 Ω

الإجابة

X = 9,071 Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 4,213 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(18,19°) = 3,287 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,213 kvar

الإجابة

Q_C = 4,213 kvar

7.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 2,165 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 50/30 = 1,667 A

I_X = V/X_C = 50/36,17 = 1,382 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,667² + 1,382²) = 2,165 A

الإجابة

I = 2,165 A

8.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 159,2 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

الإجابة

f₀ = 159,2 Hz

9.محركات التيار المستمر

الإجابة: n = 2903 rpm

محرك التيار المستمر: ملف عضو الإنتاج مقاومة R_a على التوالي مع القوة الدافعة الكهربائية العكسية E، لذا V = E + I_a·R_a. تزداد القوة الدافعة العكسية مع السرعة، E = k·ω، ويزداد العزم مع التيار، T = k·I_a، بثابت المحرك k نفسه (V·s/rad = N·m/A) في وحدات SI. حوّل السرعات بالعلاقة ω = 2π·n/60. القدرة المتولدة هي E·I_a = T·ω؛ وقدرة الدخل هي V·I_a، ويمثل فقد النحاس I_a²R_a والفقد الدوراني الفرق بينهما. تنخفض السرعة خطيًا مع العزم، ω = V/k − R_a·T/k²، من سرعة اللاحمل V/k إلى الصفر عند عزم التوقف k·V/R_a. وعند السكون E = 0، فيكون تيار البدء V/R_a كبيرًا ما لم تحدّه مقاومة.

تيار عضو الإنتاج

I_a = T/k = 0,9/0,15 = 6 A

القوة الدافعة العكسية والسرعة

E = 48 − 6·0,4 = 45,6 V

ω = E/k = 304 rad/s → n = 2903 rpm

الإجابة

n = 2903 rpm

10.محركات التيار المستمر

الإجابة: n₂ = 964,3 rpm

القوة الدافعة العكسية قبل التغير وبعده

E₁ = 24 − 2·0,8 = 22,4 V

E₂ = 24 − 3·0,8 = 21,6 V

السرعة الجديدة

n₂ = 1000·21,6/22,4 = 964,3 rpm

الإجابة

n₂ = 964,3 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems