مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

للحصول على عينة فيها نسب طلاب السنة الأولى والثانية والثالثة نفسها الموجودة في مجتمع الجامعة، يجب على الباحث استخدام:

Aمعاينة كرة الثلج
Bمعاينة الفرصة
Cالمعاينة الطبقية
Dمعاينة المتطوعين

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُظهر مرضى اختيروا لأن درجات قلقهم مرتفعة جدًا درجات أقل في اختبار ثانٍ، حتى دون علاج. ما التفسير الأرجح؟

Aأثر هوثورن
Bالموازنة (counterbalancing)
Cالانحدار نحو المتوسط
Dأثر السقف

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 54, 45, 27, 41, 13.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 74,8.

μ = 70σ = 12x = 74,8

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 4

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,6

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9192. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9192

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 14,5 وانحرافها المعياري s = 18,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 21x̄ = 14,5s = 18,599%t(20) = 2,845

E =

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,1 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p ≈ 0,1E = 0,0590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 50 جزءًا متوسط طولها 42,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 5 mm. الخط 2: عينة من 40 جزءًا متوسطها 45,1 mm، والانحراف المعياري المعلوم 10 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 50x̄₁ = 42,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 40x̄₂ = 45,1 mmσ₂ = 10 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50 عند α = 0,05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 24. في الواقع المتوسط 53. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 53σ = 24n = 64α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 61). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 61)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، طفيف».

مجموع الصف = 106مجموع العمود = 44N = 160

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 4

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · المعاينة الطبقية

لماذا هذه هي الإجابة

تحدد المعاينة الطبقية مجموعات فرعية (طبقات) وتسحب من كل منها عينة عشوائية تتناسب مع حجمها في المجتمع، فتصبح العينة أكثر تمثيلًا.

الإجابة

C · المعاينة الطبقية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · الانحدار نحو المتوسط

لماذا هذه هي الإجابة

عندما يُختار الناس بسبب درجات متطرفة، فإن خطأ القياس والصدفة يعنيان أن درجاتهم اللاحقة تميل إلى الاتجاه نحو المتوسط. وتساعد المجموعات الضابطة على فصل ذلك عن آثار العلاج.

الإجابة

C · الانحدار نحو المتوسط

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,12

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 180/5 = 36

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 18² + 9² + (−9)² + 5² + (−23)² = 1040

الانحراف المعياري

s = √(1040/4) = 16,12

الإجابة

s = 16,12

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (74,8 − 70)/12 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2778

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

الإجابة

P = 0,2778

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,003801

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,4⁹ = 0,0002621

P(X = 1) = 9·0,6·0,4⁸ = 0,003539

اجمعها

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

الإجابة

P = 0,003801

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,4

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9192 = 0,0808

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0808 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,40

الإجابة

z = −1,40

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 11,49

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 2,845

هامش الخطأ

E = 2,845·18,5/√21 = 11,49

الإجابة

E = 11,49

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 98

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,05² = 97,42

قرّب إلى الأعلى

n = 98

الإجابة

n = 98

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,501

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(5²/50 + 10²/40) = √3 = 1,732

إحصائية الاختبار

z = (42,5 − 45,1)/1,732 = −1,501

الإجابة

z = −1,501

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 25,95 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 50 + 1,645·3 = 54,94

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (54,94 − 53)/3 = 0,645

القدرة

القوة = P(Z > 0,645) = 25,95%

1 − β = 25,95%

الإجابة

1 − β = 25,95%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9496

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 101,2

معامل التحديد

r² = 62²/(40·101,2) = 0,9496

الإجابة

r² = 0,9496

نحو 94,96% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 1,833

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 355/6 = 59,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143,5

خط الانحدار

b = 143,5/17,5 = 8,2

a = 59,17 − 8,2·3,5 = 30,47

ŷ = 30,47 + 8,2·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 30,47 + 8,2·3,5 = 59,17

البُواقي

e = 61 − 59,17 = 1,833

الإجابة

e = 1,833

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 29,15

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 106·44/160 = 29,15

الإجابة

E = 29,15

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology