مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي إحصاء مناسب للعلاقة بين مجموعتين من الرتب، مثل ترتيب الحكام للوحات؟

Aمعامل سبيرمان (rho)
Bمعامل بيرسون (r)
Cكاي تربيع
Dاختبار t المستقل

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة أن أثر الضغط النفسي في المرض أضعف لدى من لديهم دعم اجتماعي قوي. يعمل الدعم الاجتماعي هنا بوصفه:

Aمتغيرًا مُربِكًا
Bمتغيرًا معدِّلًا (moderator)
Cمتغيرًا تابعًا
Dمتغيرًا وسيطًا (mediator)

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 58, 37, 55, 16, 43.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. ما نسبة P القيم الأكبر من 575؟

μ = 500σ = 50x = 575

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,2Y = 0,5X + 10

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 82 و 127 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 127

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 46,5 وانحرافها المعياري s = 2,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 30x̄ = 46,5s = 2,590%t(29) = 1,699

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 11 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 11,1 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 10، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 3,247 و 2,5% فوق 20,483.

n = 11s = 11,1 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 77,4 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 8n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 119. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 119σ = 4n = 2595%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 114Σy = 669Σx² = 2236Σy² = 77225Σxy = 13136

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، منخفض».

مجموع الصف = 94مجموع العمود = 65N = 169

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · معامل سبيرمان (rho)

لماذا هذه هي الإجابة

يقيس ارتباط سبيرمان للرتب قوة العلاقة الرتيبة بين متغيرين مرتبين أو رتبيين.

الإجابة

A · معامل سبيرمان (rho)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

لماذا هذه هي الإجابة

يغيّر المتغير المعدِّل قوة العلاقة بين متغيرين أو اتجاهها، أما المتغير الوسيط فيفسر الآلية التي يؤثر بها أحد المتغيرين في الآخر.

الإجابة

B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,78

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 209/5 = 41,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 16,2² + (−4,8)² + 13,2² + (−25,8)² + 1,2² = 1127

الانحراف المعياري

s = √(1127/4) = 16,78

الإجابة

s = 16,78

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 5,39

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,25 = 2,9

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,25 = 13,8

التباين

Var(X) = 13,8 − 2,9² = 5,39

الإجابة

Var(X) = 5,39

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 1,023

تشتت X

μ = 3,1, Var(X) = 4,19, σ_X = 2,047

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·2,047 = 1,023

الإجابة

σ_Y = 1,023

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·3,1 + 10 = 11,55.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,849

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849

الإجابة

P = 0,849

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 47,28

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 1,699

هامش الخطأ

E = 1,699·2,5/√30 = 0,7755

الفترة

46,5 ± 0,7755 → [45,72, 47,28]

الإجابة

الحد الأعلى = 47,28

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 19,48 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 10·11,1² = 1232

حدّا σ²

1232/20,483 = 60,15

1232/3,247 = 379,5

حدّ σ

σ = √379,5 = 19,48 µm

الإجابة

σ = 19,48 µm

فترة 95% لـ σ: [7,756, 19,48] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

إحصائية الاختبار

t = (77,4 − 75)/1 = 2,4

الإجابة

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 117,4

هامش الخطأ

E = 1,96·4/√25 = 1,568

حد الفترة

L = 119 − 1,568 = 117,4

الإجابة

L = 117,4

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9902

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 13136 − 114·669/6 = 425

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 77225 − 669²/6 = 2632

معامل الارتباط

r = 425/√(70·2632) = 0,9902

الإجابة

r = 0,9902

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 14,2

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 82/5 = 16,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

خط الانحدار

b = 88/40 = 2,2

a = 16,4 − 2,2·6 = 3,2

ŷ = 3,2 + 2,2·x

التنبؤ

ŷ = 3,2 + 2,2·5 = 14,2

الإجابة

ŷ = 14,2

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 36,15

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 94·65/169 = 36,15

الإجابة

E = 36,15

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,44

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 70, 30

المصنع B: 70, 30

المصنع C: 56, 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (62 − 70)²/70 + (38 − 30)²/30 + (77 − 70)²/70 + (23 − 30)²/30 + (57 − 56)²/56 + (23 − 24)²/24

χ² = 5,44

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,44 < 9,210

الإجابة

χ² = 5,44

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology