مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير تحيّز النشر إلى:

Aأن المجلات لا تنشر إلا البحوث النوعية
Bأن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية
Cأن المحكّمين يفضّلون أوراق المؤلفين من الجامعات الشهيرة على الجامعات الأقل شهرة
Dأن الباحثين ينشرون الدراسة نفسها مرتين

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تذكر دراسة t(28) = 2,50، p = .018 لمجموعتين مستقلتين متساويتين في الحجم. كم مشاركًا شارك؟

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 48, 12, 49, 48, 52, 15, 20.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. ما نسبة P القيم الأكبر من 580؟

μ = 500σ = 40x = 580

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,6، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,6k = 2

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9452. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9452

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 10% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة10%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 مفردة متوسطها 76 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 25x̄ = 76s = 499%t(24) = 2,797

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,03 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0395%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 80,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 3 mm. الخط 2: عينة من 100 جزءًا متوسطها 83,6 mm، والانحراف المعياري المعلوم 20 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 40x̄₁ = 80,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 83,6 mmσ₂ = 20 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 80 من 200 مريضًا على العلاج A، و 129 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 129n₂ = 300

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 52؟

n = 5ŷ = 52

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تبقى الدراسات غير الدالة في أدراج الملفات تبالغ الأدبيات المنشورة في تقدير أحجام الأثر، مما يشوّه التحليلات البعدية.

الإجابة

B · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · 30

لماذا هذه هي الإجابة

درجات الحرية 28 تعني 28 + 2 = 30 مشاركًا، 15 في كل مجموعة.

الإجابة

C · 30

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,15

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 244/7 = 34,86

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13,14² + (−22,86)² + 14,14² + 13,14² + 17,14² + (−19,86)² + (−14,86)² = 1977

الانحراف المعياري

s = √(1977/6) = 18,15

الإجابة

s = 18,15

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,02275

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,36

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,8

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,2

التباين

Var(X) = 9,2 − 2,8² = 1,36

الإجابة

Var(X) = 1,36

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,01062

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 2) = 45·0,6²·0,4⁸ = 45·0,36·0,0006554 = 0,01062

الإجابة

P = 0,01062

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,6

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9452 = 0,0548

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0548 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,60

الإجابة

z = −1,60

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 77,8 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 درجة

الإجابة

x = 77,8 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 78,24

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 2,797

هامش الخطأ

E = 2,797·4/√25 = 2,238

الفترة

76 ± 2,238 → [73,76, 78,24]

الإجابة

الحد الأعلى = 78,24

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067

قرّب إلى الأعلى

n = 1068

الإجابة

n = 1068

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,508

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(3²/40 + 20²/100) = √4,225 = 2,055

إحصائية الاختبار

z = (80,5 − 83,6)/2,055 = −1,508

الإجابة

z = −1,508

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −0,6663

نسبتا العينتين

p̂₁ = 80/200 = 0,4

p̂₂ = 129/300 = 0,43

p̂ = 209/500 = 0,418

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,418·0,582·(1/200 + 1/300)) = 0,04503

إحصائية الاختبار

z = (0,4 − 0,43)/0,04503 = −0,6663

الإجابة

z = −0,6663

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,977

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 535/6 = 89,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 712,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3377

معامل الارتباط

r = 712,5/√(157,5·3377) = 0,977

الإجابة

r = 0,977

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,97

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 335/5 = 67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

خط الانحدار

b = 198/40 = 4,95

a = 67 − 4,95·6 = 37,3

ŷ = 37,3 + 4,95·x

حلّ لإيجاد x

x = (52 − 37,3)/4,95 = 2,97

الإجابة

x = 2,97

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 12,2

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40

الموظفون: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (20 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (31 − 40)²/40 + (4 − 8)²/8 + (7 − 12)²/12 + (29 − 20)²/20

χ² = 12,2

الإجابة

χ² = 12,2

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 23,15

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 24, 16

خط الإنتاج 2: 60, 40

خط الإنتاج 3: 60, 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (73 − 60)²/60 + (27 − 40)²/40 + (42 − 60)²/60 + (58 − 40)²/40

χ² = 23,15

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

23,15 > 5,991

الإجابة

χ² = 23,15

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology