مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

خصائص الطلب (demand characteristics) هي:

Aالمطالب الرسمية التي تفرضها لجنة الأخلاقيات قبل بدء الدراسة
Bخصائص العيّنة
Cالمتطلبات الإحصائية للاختبار
Dإشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يقيس باحث أثر الضوضاء في التركيز. صادف أن اختُبر المشاركون في شرط الضوضاء صباحًا وفي شرط الهدوء بعد الظهر. ما المشكلة؟

Aفي الدراسة شروط كثيرة جدًا
Bالبيانات على المستوى الاسمي
Cوقت اليوم متغير مُربِك
Dوقت اليوم هو المتغير التابع

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 55, 33, 24, 60, 42, 47.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 52,5.

μ = 60σ = 5x = 52,5

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 8

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,35, 0,2Y = 5X + 4

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 95,4 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 101,5 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 11x̄ = 101,5s = 13,590%t(10) = 1,812

E =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 40. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 40E = 395%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 30 جزءًا متوسط طولها 106,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 7 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 109,3 mm، والانحراف المعياري المعلوم 3 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 30x̄₁ = 106,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 80x̄₂ = 109,3 mmσ₂ = 3 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500 عند α = 0,05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 24. في الواقع المتوسط 504,5. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 504,5σ = 24n = 64α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7, 28). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(7, 28)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، بلا عيب».

مجموع الصف = 71مجموع العمود = 85N = 174

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

لماذا هذه هي الإجابة

إذا استنتج المشاركون الفرضية فقد يتصرفون لتأكيدها أو إفسادها، مما يهدد الصدق. ويقلّل الخداع وإجراءات التعمية من ذلك.

الإجابة

D · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · وقت اليوم متغير مُربِك

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الضوضاء ووقت الاختبار يتغيران معًا، فقد يرجع أي فرق إلى أيٍّ منهما. والتوزيع العشوائي لأوقات الاختبار أو تثبيت الوقت يزيل المتغير المُربِك.

الإجابة

C · وقت اليوم متغير مُربِك

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,49

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 261/6 = 43,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 11,5² + (−10,5)² + (−19,5)² + 16,5² + (−1,5)² + 3,5² = 909,5

الانحراف المعياري

s = √(909,5/5) = 13,49

الإجابة

s = 13,49

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (52,5 − 60)/5 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1282

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

الإجابة

P = 0,1282

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 9,695

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,2, Var(X) = 3,76, σ_X = 1,939

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,939 = 9,695

الإجابة

σ_Y = 9,695

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,2 + 4 = 20.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9332

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,376

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 1,812

هامش الخطأ

E = 1,812·13,5/√11 = 7,376

الإجابة

E = 7,376

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 683

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·40/3)² = 683

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 683

الإجابة

n = 683

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(7²/30 + 3²/80) = √1,746 = 1,321

إحصائية الاختبار

z = (106,5 − 109,3)/1,321 = −2,119

الإجابة

z = −2,119

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 44,24 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 500 + 1,645·3 = 504,9

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (504,9 − 504,5)/3 = 0,145

القدرة

القوة = P(Z > 0,145) = 44,24%

1 − β = 44,24%

الإجابة

1 − β = 44,24%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9786

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 371/5 = 74,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1423

معامل التحديد

r² = 236²/(40·1423) = 0,9786

الإجابة

r² = 0,9786

نحو 97,86% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2,9

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 134/5 = 26,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

خط الانحدار

b = 164/40 = 4,1

a = 26,8 − 4,1·6 = 2,2

ŷ = 2,2 + 4,1·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 2,2 + 4,1·7 = 30,9

البُواقي

e = 28 − 30,9 = −2,9

الإجابة

e = −2,9

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 34,68

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 71·85/174 = 34,68

الإجابة

E = 34,68

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,681

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 36, 24

خط الإنتاج 2: 48, 32

خط الإنتاج 3: 36, 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (35 − 36)²/36 + (25 − 24)²/24 + (54 − 48)²/48 + (26 − 32)²/32 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24

χ² = 3,681

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,681 < 5,991

الإجابة

χ² = 3,681

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology