مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

اختبار سهل إلى درجة أن معظم المشاركين يحصلون على درجات قريبة من الحد الأقصى. يُسمّى ذلك:

Aأثر الممارسة
Bأثر الأرضية
Cأثر السقف
Dأثر الترتيب

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

بعد تحليل البيانات يكتب باحث المقدمة كأن نتيجة غير متوقعة كانت متنبأً بها منذ البداية. يُسمّى ذلك:

Aالتعريف الإجرائي
Bالموازنة
CHARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)
Dالإيضاح اللاحق

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 37, 15, 36, 48, 50, 10.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 162؟

μ = 170σ = 10x = 162

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 5

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15Y = 10X + 10

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 246 و 251,25 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 251,25

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 8 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 8,8 وانحرافها المعياري 3,1. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 8d̄ = 8,8s_d = 3,190%t(7) = 1,895

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,3 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p ≈ 0,3E = 0,02599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 15. متوسط عينة عشوائية من 25 مشاهدة هو 45,8. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ ≠ 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 50σ = 15n = 25x̄ = 45,8H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50 عند α = 0,05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 30. في الواقع المتوسط 53,6. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 53,6σ = 30n = 100α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 92Σx² = 91Σy² = 1598Σxy = 265

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، متوسط».

مجموع الصف = 47مجموع العمود = 39N = 127

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · أثر السقف

لماذا هذه هي الإجابة

تخفي آثار السقف الفروق بين الشروط لأن أحدًا لا يستطيع الحصول على درجة أعلى. أما آثار الأرضية فهي العكس، عندما تكون المهمة صعبة جدًا.

الإجابة

C · أثر السقف

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّم HARKing النتائج الاستكشافية على أنها تأكيدية، فتبدو النتائج أمتن مما هي عليه، ويسهم ذلك في أزمة قابلية التكرار.

الإجابة

C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,47

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 206/7 = 29,43

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + 7,571² + (−14,43)² + 6,571² + 18,57² + 20,57² + (−19,43)² = 1832

الانحراف المعياري

s = √(1832/6) = 17,47

الإجابة

s = 17,47

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5981

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

الإجابة

P = 0,5981

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 21,79

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,5, Var(X) = 4,75, σ_X = 2,179

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·2,179 = 21,79

الإجابة

σ_Y = 21,79

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·2,5 + 10 = 35.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3869

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,25) − Φ(−0,8) = 0,5987 − 0,2119 = 0,3869

الإجابة

P = 0,3869

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 10,88 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 7, t = 1,895

هامش الخطأ

E = 1,895·3,1/√8 = 2,077

الفترة

8,8 ± 2,077 → [6,723, 10,88]

الإجابة

الحد الأعلى = 10,88 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,3·0,7/0,025² = 2230

قرّب إلى الأعلى

n = 2230

الإجابة

n = 2230

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,1615

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (45,8 − 50)/3 = −1,4

مساحة الذيل

Φ(1,4) = 0,9192

1 − Φ(1,4) = 0,0808

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0808 = 0,1615

الإجابة

p = 0,1615

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 32,82 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 + 1,645·3 = 54,94

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (54,94 − 53,6)/3 = 0,445

القدرة

القوة = P(Z > 0,445) = 32,82%

1 − β = 32,82%

الإجابة

1 − β = 32,82%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9955

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 265 − 21·92/6 = −57

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1598 − 92²/6 = 187,3

معامل الارتباط

r = −57/√(17,5·187,3) = −0,9955

الإجابة

r = −0,9955

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 37,5

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 198/5 = 39,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

خط الانحدار

b = 84/40 = 2,1

a = 39,6 − 2,1·7 = 24,9

ŷ = 24,9 + 2,1·x

التنبؤ

ŷ = 24,9 + 2,1·6 = 37,5

الإجابة

ŷ = 37,5

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 14,43

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 47·39/127 = 14,43

الإجابة

E = 14,43

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,611

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 40, 60

خط الإنتاج 2: 24, 36

خط الإنتاج 3: 40, 60

إحصاءة مربع كاي

χ² = (35 − 40)²/40 + (65 − 60)²/60 + (23 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36 + (46 − 40)²/40 + (54 − 60)²/60

χ² = 2,611

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

2,611 < 5,991

الإجابة

χ² = 2,611

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology