مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يُقلَّل تحيّز المجرِّب بأكثر الطرق مباشرة عن طريق:

Aالاقتصار على المتطوعين
Bاستخدام عينة أكبر
Cاستخدام فرضية أحادية الطرف
Dالاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة أن أثر الضغط النفسي في المرض أضعف لدى من لديهم دعم اجتماعي قوي. يعمل الدعم الاجتماعي هنا بوصفه:

Aمتغيرًا تابعًا
Bمتغيرًا معدِّلًا (moderator)
Cمتغيرًا وسيطًا (mediator)
Dمتغيرًا مُربِكًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 49, 59, 35, 29.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 158؟

μ = 170σ = 12x = 158

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15

σ =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 11 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,3. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 11p = 0,3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 169,6 و 185,35 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 185,35

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 96,5 وانحرافها المعياري s = 11,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 21x̄ = 96,5s = 11,590%t(20) = 1,725

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 23E = 190%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 48,31 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,31s = 15n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 73,9. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 73,9σ = 4n = 10090%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 104Σx² = 220Σy² = 2548Σxy = 748

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 4

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

لماذا هذه هي الإجابة

قد يؤثر المجرّبون الذين يعرفون الفرضية دون قصد في المشاركين أو في التسجيلات، وتقلل الإجراءات أحادية التعمية أو مزدوجة التعمية والتعليمات المعيارية ذلك.

الإجابة

D · الاستعانة بباحث لا يعرف الفرضية أو الشروط لجمع البيانات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

لماذا هذه هي الإجابة

يغيّر المتغير المعدِّل قوة العلاقة بين متغيرين أو اتجاهها، أما المتغير الوسيط فيفسر الآلية التي يؤثر بها أحد المتغيرين في الآخر.

الإجابة

B · متغيرًا معدِّلًا (moderator)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,05

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 209/5 = 41,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + 7,2² + 17,2² + (−6,8)² + (−12,8)² = 580,8

الانحراف المعياري

s = √(580,8/4) = 12,05

الإجابة

s = 12,05

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,062

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,15

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,75

التباين

Var(X) = 5,75 − 2,15² = 1,128

σ = √1,128 = 1,062

الإجابة

σ = 1,062

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,113

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

اجمعها

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

الإجابة

P = 0,113

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7381

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,05) − Φ(−1,2) = 0,8531 − 0,1151 = 0,7381

الإجابة

P = 0,7381

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 92,17

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 1,725

هامش الخطأ

E = 1,725·11,5/√21 = 4,329

الفترة

96,5 ± 4,329 → [92,17, 100,8]

الإجابة

الحد الأدنى = 92,17

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1432

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·23/1)² = 1431

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1432

الإجابة

n = 1432

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9013

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (48,31 − 50)/1,875 = −0,9013

الإجابة

t = −0,9013

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 74,56

هامش الخطأ

E = 1,645·4/√100 = 0,658

حد الفترة

U = 73,9 + 0,658 = 74,56

الإجابة

U = 74,56

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9995

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 748 − 30·104/5 = 124

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2548 − 104²/5 = 384,8

معامل الارتباط

r = 124/√(40·384,8) = 0,9995

الإجابة

r = 0,9995

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 69,16

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 380/6 = 63,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

خط الانحدار

b = 51/17,5 = 2,914

a = 63,33 − 2,914·4,5 = 50,22

ŷ = 50,22 + 2,914·x

التنبؤ

ŷ = 50,22 + 2,914·6,5 = 69,16

الإجابة

ŷ = 69,16

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,265

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32

المناوبة الليلية: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (14 − 20)²/20 + (28 − 28)²/28 + (38 − 32)²/32 + (31 − 25)²/25 + (35 − 35)²/35 + (34 − 40)²/40

χ² = 5,265

الإجابة

χ² = 5,265

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology