مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

تُستخدم التعليمات المعيارية في التجربة بحيث:

Aيستطيع الباحث تكييف الإجراء بما يناسب احتياجات كل مشارك
Bيتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها
Cيستطيع المشاركون اختيار شروطهم
Dتصبح النتائج دالة إحصائيًا

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في انحدار متعدد يتنبأ بدرجات الامتحان من ساعات الدراسة والنوم، R² = 0,36. ماذا يعني ذلك؟

Aنجح 36% من الطلاب في الامتحان
Bالمتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان
Cساعات الدراسة تسبب 36% من النجاح في الامتحان
Dالارتباط بين المتنبئات يساوي 0,36

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 28, 47, 54, 16, 56, 26, 57.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 188,8؟

μ = 170σ = 15x = 188,8

P =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 9؟ الترتيب غير مهم.

n = 9k = 5

N =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,6، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 7p = 0,6k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,5407. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,5407

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 11. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

99%n₁ = 64E₁ = 1190%

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 47,5 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. مجموعة القطع 2: 14 قطعة، المتوسط 48 kg، الانحراف المعياري 4 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 47,5s₁ = 3,5n₂ = 14x̄₂ = 48s₂ = 490%t(19) = 1,729

الحد الأعلى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 8 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 15,98 والانحراف المعياري للفروق 11,3. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 15,98s_d = 11,3

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 2,5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 2,5σ = 8z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 84؟

n = 6ŷ = 84

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2202 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها

لماذا هذه هي الإجابة

يزيل التقنين التباين في الإجراء بوصفه متغيرًا دخيلًا ويجعل الدراسة قابلة للإعادة.

الإجابة

B · يتلقى جميع المشاركين المعلومات نفسها بالطريقة نفسها

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

لماذا هذه هي الإجابة

تُظهر R² مقدار التباين في النتيجة الذي تفسره جميع المتنبئات معًا، ولا تثبت السببية.

الإجابة

B · المتنبئات معًا تفسر 36% من التباين في درجات الامتحان

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,85

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 284/7 = 40,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−12,57)² + 6,429² + 13,43² + (−24,57)² + 15,43² + (−14,57)² + 16,43² = 1704

الانحراف المعياري

s = √(1704/6) = 16,85

الإجابة

s = 16,85

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8944

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

الإجابة

P = 0,8944

5.الاحتمال

الإجابة: N = 126

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

الإجابة

N = 126

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1935

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 35·0,6³·0,4⁴ = 35·0,216·0,0256 = 0,1935

الإجابة

P = 0,1935

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,74

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,5407)/2 = 0,7704

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7704 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,74

الإجابة

z = 0,74

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 565,8 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

الإجابة

x = 565,8 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 7,024

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386

الهامش الجديد

E₂ = 11·0,6386 = 7,024

الإجابة

E₂ = 7,024

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 2,581 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (6·3,5² + 13·4²)/19 = 14,82

s_p = 3,849

هامش الخطأ

E = 1,729·3,849·√(1/7 + 1/14) = 3,081

الفترة

−0,5 ± 3,081 → [−3,581, 2,581]

الإجابة

الحد الأعلى = 2,581 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 11,3/√8 = 3,995

إحصائية الاختبار

t = 15,98/3,995 = 4

الإجابة

t = 4

مع df = 7، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,365؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 162

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·8/2,5)² = 161,5

قرّب إلى الأعلى

n = 162

الإجابة

n = 162

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,969

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 72

معامل الارتباط

r = −26/√(10·72) = −0,969

الإجابة

r = −0,969

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 5,984

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 570/6 = 95

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 382

خط الانحدار

b = 382/70 = 5,457

a = 95 − 5,457·8 = 51,34

ŷ = 51,34 + 5,457·x

حلّ لإيجاد x

x = (84 − 51,34)/5,457 = 5,984

الإجابة

x = 5,984

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,75

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 100·88/220 = 40, 100·132/220 = 60

النساء: 120·88/220 = 48, 120·132/220 = 72

إحصاءة مربع كاي

χ² = (46 − 40)²/40 + (54 − 60)²/60 + (42 − 48)²/48 + (78 − 72)²/72

χ² = 2,75

الإجابة

χ² = 2,75

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,467

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 30, 10

العمر 31–50: 60, 20

العمر 51+: 75, 25

إحصاءة مربع كاي

χ² = (32 − 30)²/30 + (8 − 10)²/10 + (63 − 60)²/60 + (17 − 20)²/20 + (70 − 75)²/75 + (30 − 25)²/25

χ² = 2,467

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,467 < 9,210

الإجابة

χ² = 2,467

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology