مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي تصميم يستخدم مشاركين مختلفين في كل شرط؟

Aتصميم القياسات المتكررة
Bتصميم الأزواج المتطابقة بالأشخاص أنفسهم
Cالتصميم داخل الأفراد
Dتصميم المجموعات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجمع تحليل بعدي 40 دراسة عن علاج ما. لماذا قد يظل حجم الأثر الكلي أكبر من اللازم؟

Aلأن الجمع بين الدراسات يزيل دائمًا كل التحيّز
Bلأن التحليلات البعدية لا يمكنها تضمين التجارب العشوائية
Cلأن التحليلات البعدية تعطي دائمًا آثارًا أصغر من الدراسات المفردة التي تضمها
Dلأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 20, 16, 56, 20, 15, 38.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأقل من 68؟

μ = 60σ = 8x = 68

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,1, 0,3, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,2, 0,2, 0,3Y = 5X + 5

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6157. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6157

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 21 وانحرافها المعياري s = 7,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 15x̄ = 21s = 7,590%t(14) = 1,761

E =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 26E = 595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 50 جزءًا متوسط طولها 43 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 3 mm. الخط 2: عينة من 60 جزءًا متوسطها 40 mm، والانحراف المعياري المعلوم 14 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 50x̄₁ = 43 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 60x̄₂ = 40 mmσ₂ = 14 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.01 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 45.8. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 45,8σ = 12n = 64α = 0,01

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 48Σy = 404Σx² = 454Σy² = 27758Σxy = 3426

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 24). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 24)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 7 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 7

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · تصميم المجموعات المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

في تصميم المجموعات المستقلة لكل شرط مشاركون مختلفون، فيُتجنّب أثر الترتيب لكن مع خطر تأثير متغيرات المشاركين.

الإجابة

D · تصميم المجموعات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

لماذا هذه هي الإجابة

إذا كانت النتائج الصفرية تُنشر أقل، فإن الأثر المجمَّع يتضخم. وتساعد مخططات القمع (funnel plots) والبحث عن البيانات غير المنشورة على كشف ذلك وتقليله.

الإجابة

D · لأن تحيّز النشر يعني أن دراسات صفرية غير منشورة قد تكون مفقودة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,27

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 165/6 = 27,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−7,5)² + (−11,5)² + 28,5² + (−7,5)² + (−12,5)² + 10,5² = 1324

الانحراف المعياري

s = √(1324/5) = 16,27

الإجابة

s = 16,27

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8413

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 2,188

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,25 = 3,25

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,25 = 12,75

التباين

Var(X) = 12,75 − 3,25² = 2,188

الإجابة

Var(X) = 2,188

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 6,418

تشتت X

μ = 2,45, Var(X) = 1,647, σ_X = 1,284

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,284 = 6,418

الإجابة

σ_Y = 6,418

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·2,45 + 5 = 17,25.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,87

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,6157)/2 = 0,8078

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8078 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,87

الإجابة

z = 0,87

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9868

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

الإجابة

P = 0,9868

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 3,41

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 1,761

هامش الخطأ

E = 1,761·7,5/√15 = 3,41

الإجابة

E = 3,41

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 104

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·26/5)² = 103,9

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 104

الإجابة

n = 104

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 1,616

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(3²/50 + 14²/60) = √3,447 = 1,857

إحصائية الاختبار

z = (43 − 40)/1,857 = 1,616

الإجابة

z = 1,616

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 68,23 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 50 − 2,326·1,5 = 46,51

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (46,51 − 45,8)/1,5 = 0,474

القدرة

القوة = P(Z < 0.474) = 68.23%

1 − β = 68,23%

الإجابة

1 − β = 68,23%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,984

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 3426 − 48·404/6 = 194

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 27758 − 404²/6 = 555,3

معامل الارتباط

r = 194/√(70·555,3) = 0,984

الإجابة

r = 0,984

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,05

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

خط الانحدار

b = −25/10 = −2,5

a = 22,2 − (−2,5)·3 = 29,7

ŷ = 29,7 − 2,5·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 29,7 + (−2,5)·3,5 = 20,95

البُواقي

e = 24 − 20,95 = 3,05

الإجابة

e = 3,05

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 19,31

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 120·45/180 = 30, 120·63/180 = 42, 120·72/180 = 48

الموظفون: 60·45/180 = 15, 60·63/180 = 21, 60·72/180 = 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (41 − 30)²/30 + (32 − 42)²/42 + (47 − 48)²/48 + (4 − 15)²/15 + (31 − 21)²/21 + (25 − 24)²/24

χ² = 19,31

الإجابة

χ² = 19,31

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 6

درجات الحرية

df = 7 − 1 = 6

الإجابة

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology