الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟
- Aبيانات فترية
- Bبيانات نسبية
- Cبيانات نوعية
- Dبيانات كمية اسمية فقط
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يتناول مشارك دواءً أو حبة سكر دون أن يعرف أيهما، بينما يعرف الباحث ذلك. ما هذا التصميم، وأي تحيّز يظل ممكنًا؟
- Aأحادي التعمية؛ وخصائص الطلب مستحيلة
- Bمزدوج التعمية؛ ولا تحيّز ممكنًا
- Cأحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
- Dتجربة مفتوحة؛ وآثار الدواء الوهمي مضبوطة تمامًا
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 13, 50, 54, 44, 10.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 620.
μ = 500σ = 60x = 620
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
6 / 6
P =
6.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,3 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €2€10: p = 0,3€20: p = 0,05
E(G) = €
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9738. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,9738
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = درجة
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 مفردة متوسطها 11,5 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
n = 16x̄ = 11,5s = 13,590%t(15) = 1,753
الحد الأدنى =
10.فترات الثقةصعبة
لأقطار 30 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 0,7 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 29، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 16,047 و 2,5% فوق 45,722.
n = 30s = 0,7 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 47,25 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,25s = 5n = 16
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 36 قياسًا متوسطها 77. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.
x̄ = 77σ = 5n = 3699%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 78؟
n = 5ŷ = 78
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1602 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 6 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟
3 × 6
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · بيانات نوعية
لماذا هذه هي الإجابة
تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.
الإجابة
C · بيانات نوعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
لماذا هذه هي الإجابة
في التصميم أحادي التعمية لا يعرف المشاركون شرطهم، مما يضبط توقعات الدواء الوهمي. لكن معرفة الباحث قد تظل تؤثر في النتائج، لذا تُفضَّل التصاميم مزدوجة التعمية.
الإجابة
C · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 21,05
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 171/5 = 34,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−21,2)² + 15,8² + 19,8² + 9,8² + (−24,2)² = 1773
الانحراف المعياري
s = √(1773/4) = 21,05
الإجابة
s = 21,05
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (620 − 500)/60 = 2
الإجابة
z = 2
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,2273
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273
الإجابة
P = 0,2273
6.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 2 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 8 (p = 0,3), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)
القيمة المتوقعة
E(G) = 8·0,3 + 18·0,05 − 2·0,65 = 2 €
الإجابة
E(G) = 2 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = −1,94
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,9738 = 0,0262
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,0262 داخل الجدول واقرأ z.
z = −1,94
الإجابة
z = −1,94
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 56,58 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
العودة إلى x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 درجة
الإجابة
x = 56,58 درجة
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 5,584
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 15, t = 1,753
هامش الخطأ
E = 1,753·13,5/√16 = 5,916
الفترة
11,5 ± 5,916 → [5,584, 17,42]
الإجابة
الحد الأدنى = 5,584
10.فترات الثقة
الإجابة: σ = 0,941 µm
فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.
مجموع المربعات
(n − 1)s² = 29·0,7² = 14,21
حدّا σ²
14,21/45,722 = 0,3108
14,21/16,047 = 0,8855
حدّ σ
σ = √0,8855 = 0,941 µm
الإجابة
σ = 0,941 µm
فترة 95% لـ σ: [0,5575, 0,941] µm.
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,2
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
إحصائية الاختبار
t = (47,25 − 50)/1,25 = −2,2
الإجابة
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 79,15
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 2,576·5/√36 = 2,147
حد الفترة
U = 77 + 2,147 = 79,15
الإجابة
U = 79,15
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9527
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 259/5 = 51,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Syy = Σ(y − ȳ)² = 740,8
معامل الارتباط
r = 164/√(40·740,8) = 0,9527
الإجابة
r = 0,9527
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 17,99
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 466/5 = 93,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
خط الانحدار
b = 202/40 = 5,05
a = 93,2 − 5,05·21 = −12,85
ŷ = −12,85 + 5,05·x
حلّ لإيجاد x
x = (78 − (−12,85))/5,05 = 17,99
الإجابة
x = 17,99
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 3,333
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 40·80/160 = 20, 40·80/160 = 20
النساء: 120·80/160 = 60, 120·80/160 = 60
إحصاءة مربع كاي
χ² = (25 − 20)²/20 + (15 − 20)²/20 + (55 − 60)²/60 + (65 − 60)²/60
χ² = 3,333
الإجابة
χ² = 3,333
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 10
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
الإجابة
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology