مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يشير تحيّز النشر إلى:

Aأن الباحثين ينشرون الدراسة نفسها مرتين
Bأن المحكّمين يفضّلون أوراق المؤلفين من الجامعات الشهيرة على الجامعات الأقل شهرة
Cأن المجلات لا تنشر إلا البحوث النوعية
Dأن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تقلل الرياضة الاكتئاب، ويحدث ذلك لأن الرياضة تحسّن النوم، وهو بدوره يخفض الاكتئاب. يوصف النوم على أفضل نحو بأنه:

Aمتغير وسيط
Bمتغير دخيل
Cمتغير مضبوط
Dمتغير معدِّل

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 49, 17, 20, 52, 40, 36.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 78,75؟

μ = 60σ = 15x = 78,75

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 3 كرات حمراء و7 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

3 / 7

P =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,25Y = 10X + 10

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,7850. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7850

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 67 وانحرافها المعياري s = 4,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 67s = 4,595%t(29) = 2,045

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 39. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 39E = 595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 198,8 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,8s = 8n = 36

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 64 قياسًا متوسطها 504,9. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 504,9σ = 15n = 6490%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 20Σy = 192Σx² = 90Σy² = 7410Σxy = 784

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 67؟

n = 5ŷ = 67

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

لماذا هذه هي الإجابة

عندما تبقى الدراسات غير الدالة في أدراج الملفات تبالغ الأدبيات المنشورة في تقدير أحجام الأثر، مما يشوّه التحليلات البعدية.

الإجابة

D · أن الدراسات ذات النتائج الدالة أرجح نشرًا من النتائج الصفرية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · متغير وسيط

لماذا هذه هي الإجابة

يقع المتغير الوسيط على المسار السببي بين المتنبئ والنتيجة، فيفسر كيف يحدث الأثر أو لماذا.

الإجابة

A · متغير وسيط

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,54

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 214/6 = 35,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13,33² + (−18,67)² + (−15,67)² + 16,33² + 4,333² + 0,3333² = 1057

الانحراف المعياري

s = √(1057/5) = 14,54

الإجابة

s = 14,54

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8944

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

الإجابة

P = 0,8944

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,06667

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

الإجابة

P = 0,06667

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 111,4

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 26, Var(X) = 124, σ_X = 11,14

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·11,14 = 111,4

الإجابة

σ_Y = 111,4

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·26 + 10 = 270.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,24

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,7850)/2 = 0,8925

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8925 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,24

الإجابة

z = 1,24

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 533,7 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

الإجابة

x = 533,66 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 68,68

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·4,5/√30 = 1,68

الفترة

67 ± 1,68 → [65,32, 68,68]

الإجابة

الحد الأعلى = 68,68

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 234

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·39/5)² = 233,7

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 234

الإجابة

n = 234

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

إحصائية الاختبار

t = (198,8 − 200)/1,333 = −0,9

الإجابة

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 501,8

هامش الخطأ

E = 1,645·15/√64 = 3,084

حد الفترة

L = 504,9 − 3,084 = 501,8

الإجابة

L = 501,8

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,8296

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 784 − 20·192/5 = 16

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 7410 − 192²/5 = 37,2

معامل الارتباط

r = 16/√(10·37,2) = 0,8296

الإجابة

r = 0,8296

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,464

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 319/5 = 63,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

خط الانحدار

b = 69/10 = 6,9

a = 63,8 − 6,9·3 = 43,1

ŷ = 43,1 + 6,9·x

حلّ لإيجاد x

x = (67 − 43,1)/6,9 = 3,464

الإجابة

x = 3,464

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 9,708

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54

الموظفون: 120·36/240 = 18, 120·96/240 = 48, 120·108/240 = 54

إحصاءة مربع كاي

χ² = (21 − 18)²/18 + (57 − 48)²/48 + (42 − 54)²/54 + (15 − 18)²/18 + (39 − 48)²/48 + (66 − 54)²/54

χ² = 9,708

الإجابة

χ² = 9,708

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 22,87

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 30, 10

خط الإنتاج 2: 60, 20

خط الإنتاج 3: 60, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (23 − 30)²/30 + (17 − 10)²/10 + (53 − 60)²/60 + (27 − 20)²/20 + (74 − 60)²/60 + (6 − 20)²/20

χ² = 22,87

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

22,87 > 5,991

الإجابة

χ² = 22,87

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology