مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التجربة الميدانية، يقوم الباحث بـ:

Aالملاحظة فقط دون التلاعب بأي شيء
Bالتلاعب بالمتغير المستقل في مختبر
Cتحليل بيانات جمعها آخرون
Dالتلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يجد باحث أن مبيعات المثلجات ووفيات الغرق مرتبطة ارتباطًا موجبًا. أي تفسير هو الأرجح؟

Aالغرق يزيد مبيعات المثلجات
Bلا بد أن الارتباط خطأ حسابي
Cالمثلجات تسبب الغرق
Dالطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 26, 22, 14, 18, 44.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 74.

μ = 50σ = 12x = 74

z =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 12؟ الترتيب غير مهم.

n = 12k = 5

N =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25Y = 0,5X − 3

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8859. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8859

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 95,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 92 h، الانحراف المعياري المعلوم 13 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 95,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 92 hσ₂ = 13 h90%

الحد الأدنى = h

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 13. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 13E = 199%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 104,5 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,5s = 15n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 83,7. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 83,7σ = 20n = 3699%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

لماذا هذه هي الإجابة

تزيد التجارب الميدانية، مثل مواقف المساعدة المدبّرة في الشارع، الصدقَ البيئي لكنها تمنح تحكمًا أقل في المتغيرات الدخيلة وتثير مسائل تتعلق بالموافقة.

الإجابة

D · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

لماذا هذه هي الإجابة

يسبب متغير ثالث، هو درجة الحرارة، كليهما. وهذا يوضح لماذا لا يستطيع الارتباط وحده إثبات السببية.

الإجابة

D · الطقس الحار يزيد مبيعات المثلجات والسباحة معًا

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,41

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 150/6 = 25

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 1² + 1² + (−3)² + (−11)² + (−7)² + 19² = 542

الانحراف المعياري

s = √(542/5) = 10,41

الإجابة

s = 10,41

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (74 − 50)/12 = 2

الإجابة

z = 2

5.الاحتمال

الإجابة: N = 792

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

الإجابة

N = 792

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,477

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1,7, Var(X) = 0,91, σ_X = 0,9539

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·0,9539 = 0,477

الإجابة

σ_Y = 0,477

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,7 − 3 = −2,15.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,58

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8859)/2 = 0,9429

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9429 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,58

الإجابة

z = 1,58

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 22,13 min

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

الإجابة

x = 22,13 min

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −0,535 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 95,5 − 92 = 3,5

الخطأ المعياري

SE = √(16²/80 + 13²/60) = 2,453

هامش الخطأ

E = 1,645·2,453 = 4,035

الفترة

3,5 ± 4,035 → [−0,535, 7,535]

الإجابة

الحد الأدنى = −0,535 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1122

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·13/1)² = 1121

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1122

الإجابة

n = 1122

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (104,5 − 100)/1,875 = 2,4

الإجابة

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 75,11

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√36 = 8,587

حد الفترة

L = 83,7 − 8,587 = 75,11

الإجابة

L = 75,11

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9818

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 118/5 = 23,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 417,2

معامل التحديد

r² = 128²/(40·417,2) = 0,9818

الإجابة

r² = 0,9818

نحو 98,18% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 60,25

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 427/6 = 71,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191

خط الانحدار

b = 191/70 = 2,729

a = 71,17 − 2,729·7 = 52,07

ŷ = 52,07 + 2,729·x

التنبؤ

ŷ = 52,07 + 2,729·3 = 60,25

الإجابة

ŷ = 60,25

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,182

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 60·99/180 = 33, 60·81/180 = 27

النساء: 120·99/180 = 66, 120·81/180 = 54

إحصاءة مربع كاي

χ² = (24 − 33)²/33 + (36 − 27)²/27 + (75 − 66)²/66 + (45 − 54)²/54

χ² = 8,182

الإجابة

χ² = 8,182

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 21,21

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 40, 40

المصنع B: 20, 20

المصنع C: 50, 50

إحصاءة مربع كاي

χ² = (51 − 40)²/40 + (29 − 40)²/40 + (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (33 − 50)²/50 + (67 − 50)²/50

χ² = 21,21

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

21,21 > 5,991

الإجابة

χ² = 21,21

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology