مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يكمل المشاركون الخمسة والعشرون أنفسهم اختبار ذاكرة قبل الكافيين وبعده، والدرجات فئوية وطبيعية تقريبًا. أي اختبار مناسب؟

Aاختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)
Bاختبار كاي تربيع
Cاختبار t للعينات المستقلة
Dاختبار مان–ويتني U

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت طريقة تدريس جديدة تسبب درجات أفضل، لكنه لا يستطيع توزيع الطلاب عشوائيًا. أي تصميم يعطي أقوى دليل سببي في هذه الحالة؟

Aسؤال الطلاب عما إذا كانوا يظنون أن الطريقة نجحت
Bمقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
Cقياس الصف الذي يستخدم الطريقة الجديدة فقط بعد التدريس
Dحساب الارتباط بين الدرجات ومدى حب الطلاب للمعلم

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 32, 32, 22, 50, 59.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 50. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 460.

μ = 500σ = 50x = 460

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,15, 0,2

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €3 باحتمال 0,2 و€10 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€3: p = 0,2€10: p = 0,01

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,5878. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,5878

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 90% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة90%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 96,5 وانحرافها المعياري s = 12,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 30x̄ = 96,5s = 12,599%t(29) = 2,756

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 14. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 14E = 0,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 121,6 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,6s = 20n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50 عند α = 0,10 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 6. في الواقع المتوسط 51,9. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 51,9σ = 6n = 36α = 0,10

β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 8؟

n = 5ŷ = 8

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الدراجة».

مجموع الصف = 63مجموع العمود = 54N = 129

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t المزدوج المتوسطات لدى المشاركين أنفسهم في شرطين، مستخدمًا الفروق داخل كل شخص.

الإجابة

A · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

لماذا هذه هي الإجابة

يضبط تصميم المجموعات غير المتكافئة مع قياس قبلي وبعدي الفروقَ الأولية والتغيرَ عبر الزمن، وإن كان أضعف من التجربة العشوائية.

الإجابة

B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,63

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 229/6 = 38,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,167)² + (−6,167)² + (−6,167)² + (−16,17)² + 11,83² + 20,83² = 928,8

الانحراف المعياري

s = √(928,8/5) = 13,63

الإجابة

s = 13,63

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (460 − 500)/50 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,99

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,2 = 2,9

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,2 = 10,4

التباين

Var(X) = 10,4 − 2,9² = 1,99

الإجابة

Var(X) = 1,99

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,3 €

النتائج الصافية

G: 2 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)

القيمة المتوقعة

E(G) = 2·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,3 €

الإجابة

E(G) = −0,3 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,82

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,5878)/2 = 0,7939

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7939 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,82

الإجابة

z = 0,82

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 52,2 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,1

z من الجدول

z ≈ −1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 درجة

الإجابة

x = 52,2 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 102,8

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,756

هامش الخطأ

E = 2,756·12,5/√30 = 6,29

الفترة

96,5 ± 6,29 → [90,21, 102,8]

الإجابة

الحد الأعلى = 102,8

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 3012

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·14/0,5)² = 3012

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 3012

الإجابة

n = 3012

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,72

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

إحصائية الاختبار

t = (121,6 − 120)/2,222 = 0,72

الإجابة

t = 0,72

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 26,83 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 + 1,282·1 = 51,28

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (51,28 − 51,9)/1 = −0,618

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z > −0,618) = 73,17%

β = 100% − 73,17% = 26,83%

الإجابة

β = 26,83%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9392

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 464/5 = 92,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 620,8

معامل الارتباط

r = 148/√(40·620,8) = 0,9392

الإجابة

r = 0,9392

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 5,097

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

خط الانحدار

b = 62/40 = 1,55

a = 9,4 − 1,55·6 = 0,1

ŷ = 0,1 + 1,55·x

حلّ لإيجاد x

x = (8 − 0,1)/1,55 = 5,097

الإجابة

x = 5,097

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 26,37

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 63·54/129 = 26,37

الإجابة

E = 26,37

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 4

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

الإجابة

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology