مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي اختبار يقارن بين مجموعتين مستقلتين عندما تكون البيانات رتبية أو غير طبيعية بوضوح؟

Aاختبار t للعينات المستقلة
Bاختبار كاي تربيع
Cاختبار مان–ويتني U
Dاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في التحليل الموضوعاتي، يقوم المحلل أساسًا بـ:

Aتحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية
Bعدّ تكرار الكلمات فقط
Cيحسب متوسط درجات كل موضوع ليقارن بينها إحصائيًا
Dاختبار فرضية رقمية

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 59, 24, 43, 58, 55.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 42,5.

μ = 50σ = 15x = 42,5

z =

5.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من مجموعة من 13؟ الترتيب غير مهم.

n = 13k = 3

N =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 5p = 0,25k = 1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,3669. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,3669

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 44 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 8x̄ = 44s = 10,595%t(7) = 2,365

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 20. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 20E = 290%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 20 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −2,15 والانحراف المعياري للفروق 12. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −2,15s_d = 12

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80 عند α = 0,05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 16. في الواقع المتوسط 83,4. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 80μ = 83,4σ = 16n = 64α = 0,05

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 799Σxy = 416

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · اختبار مان–ويتني U

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار مان–ويتني U الرتب بين مجموعتين غير مترابطتين، أما اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة فللعينات المترابطة.

الإجابة

C · اختبار مان–ويتني U

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · تحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية

لماذا هذه هي الإجابة

يشمل التحليل الموضوعاتي الإلمام بالبيانات والترميز وتوليد الموضوعات ومراجعتها وتسميتها ثم الكتابة، ويركّز على المعنى لا على الإحصاء.

الإجابة

A · تحديد أنماط المعنى المتكررة في البيانات النوعية

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,75

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 239/5 = 47,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 11,2² + (−23,8)² + (−4,8)² + 10,2² + 7,2² = 870,8

الانحراف المعياري

s = √(870,8/4) = 14,75

الإجابة

s = 14,75

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (42,5 − 50)/15 = −0,5

الإجابة

z = −0,5

5.الاحتمال

الإجابة: N = 286

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

الإجابة

N = 286

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3955

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 5·0,25¹·0,75⁴ = 5·0,25·0,3164 = 0,3955

الإجابة

P = 0,3955

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,34

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,3669 = 0,6331

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6331 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,34

الإجابة

z = 0,34

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 473 h

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

الإجابة

x = 473 h

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 52,78

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 2,365

هامش الخطأ

E = 2,365·10,5/√8 = 8,78

الفترة

44 ± 8,78 → [35,22, 52,78]

الإجابة

الحد الأعلى = 52,78

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 271

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·20/2)² = 270,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 271

الإجابة

n = 271

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −0,8013

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 12/√20 = 2,683

إحصائية الاختبار

t = −2,15/2,683 = −0,8013

الإجابة

t = −0,8013

مع df = 19، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,093؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 52,19 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 80 + 1,645·2 = 83,29

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (83,29 − 83,4)/2 = −0,055

القدرة

القوة = P(Z > −0,055) = 52,19%

1 − β = 52,19%

الإجابة

1 − β = 52,19%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9669

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 416 − 30·59/5 = 62

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 799 − 59²/5 = 102,8

معامل الارتباط

r = 62/√(40·102,8) = 0,9669

الإجابة

r = 0,9669

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 53,42

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 373/6 = 62,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76,5

خط الانحدار

b = 76,5/17,5 = 4,371

a = 62,17 − 4,371·5,5 = 38,12

ŷ = 38,12 + 4,371·x

التنبؤ

ŷ = 38,12 + 4,371·3,5 = 53,42

الإجابة

ŷ = 53,42

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 35,4

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

المناوبة الليلية: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

إحصاءة مربع كاي

χ² = (46 − 40)²/40 + (27 − 20)²/20 + (7 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (3 − 10)²/10 + (23 − 10)²/10

χ² = 35,4

الإجابة

χ² = 35,4

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 12,15

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 24, 16

خط الإنتاج 2: 24, 16

خط الإنتاج 3: 36, 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (26 − 36)²/36 + (34 − 24)²/24

χ² = 12,15

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

12,15 > 5,991

الإجابة

χ² = 12,15

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology