الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في توزيع ملتوٍ التواءً موجبًا، مثل الدخل:
- Aلا توجد درجات متطرفة
- Bيكون المتوسط أصغر من الوسيط
- Cيتساوى المتوسط والوسيط دائمًا
- Dيكون المتوسط أكبر من الوسيط
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت طريقة تدريس جديدة تسبب درجات أفضل، لكنه لا يستطيع توزيع الطلاب عشوائيًا. أي تصميم يعطي أقوى دليل سببي في هذه الحالة؟
- Aحساب الارتباط بين الدرجات ومدى حب الطلاب للمعلم
- Bمقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
- Cقياس الصف الذي يستخدم الطريقة الجديدة فقط بعد التدريس
- Dسؤال الطلاب عما إذا كانوا يظنون أن الطريقة نجحت
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 13, 28, 56, 34, 35, 26, 12.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 102؟
μ = 100σ = 5x = 102
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35Y = 5X + 10
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 438 و 508 h؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 508
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 5% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 7 مفردة متوسطها 71,5 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 7x̄ = 71,5s = 10,595%t(6) = 2,447
E =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 26E = 199%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يجري 20 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 1,25 والانحراف المعياري للفروق 6,2. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 1,25sd = 6,2
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 120 من 300 مريضًا على العلاج A، و 129 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 129n₂ = 300
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 42Σy = 121Σx² = 364Σy² = 2793Σxy = 1004
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1202 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط
لماذا هذه هي الإجابة
ترفع قيم قليلة مرتفعة جدًا في الذيل الأيمن المتوسطَ فوق الوسيط، ولهذا يُذكر الوسيط كثيرًا في البيانات الملتوية.
الإجابة
D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
لماذا هذه هي الإجابة
يضبط تصميم المجموعات غير المتكافئة مع قياس قبلي وبعدي الفروقَ الأولية والتغيرَ عبر الزمن، وإن كان أضعف من التجربة العشوائية.
الإجابة
B · مقارنة صفوف متطابقة تُقاس قبل التدريس وبعده، مع مجموعة مقارنة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,97
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 204/7 = 29,14
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−16,14)² + (−1,143)² + 26,86² + 4,857² + 5,857² + (−3,143)² + (−17,14)² = 1345
الانحراف المعياري
s = √(1345/6) = 14,97
الإجابة
s = 14,97
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,3446
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 0,4
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
الإجابة
P = 0,3446
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 4,59
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,9
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,3 + 36·0,2 = 13
التباين
Var(X) = 13 − 2,9² = 4,59
الإجابة
Var(X) = 4,59
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 10,77
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 3,6, Var(X) = 4,64, σX = 2,154
التغيير الخطي
σY = |5|·2,154 = 10,77
الإجابة
σY = 10,77
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·3,6 + 10 = 28.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,5187
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (438 − 500)/40 = −1,55
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,2) − Φ(−1,55) = 0,5793 − 0,06057 = 0,5187
الإجابة
P = 0,5187
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 166,5 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,05
z من الجدول
z ≈ −1,64
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm
الإجابة
x = 166,5 cm
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 9,711
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 6, t = 2,447
هامش الخطأ
E = 2,447·10,5/√7 = 9,711
الإجابة
E = 9,711
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 4486
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·26/1)² = 4486
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 4486
الإجابة
n = 4486
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 0,9016
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
الخطأ المعياري لمتوسط الفروق
SE = 6,2/√20 = 1,386
إحصائية الاختبار
t = 1,25/1,386 = 0,9016
الإجابة
t = 0,9016
مع df = 19، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,093؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −0,7457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 129/300 = 0,43
p̂ = 249/600 = 0,415
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,415·0,585·(1/300 + 1/300)) = 0,04023
إحصائية الاختبار
z = (0,4 − 0,43)/0,04023 = −0,7457
الإجابة
z = −0,7457
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,999
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 1004 − 42·121/6 = 157
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2793 − 121²/6 = 352,8
معامل الارتباط
r = 157/√(70·352,8) = 0,999
الإجابة
r = 0,999
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 54,4
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 259/5 = 51,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
خط الانحدار
b = 52/10 = 5,2
a = 51,8 − 5,2·3 = 36,2
ŷ = 36,2 + 5,2·x
التنبؤ
ŷ = 36,2 + 5,2·3,5 = 54,4
الإجابة
ŷ = 54,4
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,6019
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27
ريفي: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27
إحصاءة مربع كاي
χ² = (10 − 9)²/9 + (25 − 24)²/24 + (25 − 27)²/27 + (8 − 9)²/9 + (23 − 24)²/24 + (29 − 27)²/27
χ² = 0,6019
الإجابة
χ² = 0,6019
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 7
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 − 1 = 7
الإجابة
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology