الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في توزيع ملتوٍ التواءً موجبًا، مثل الدخل:
- Aيكون المتوسط أصغر من الوسيط
- Bلا توجد درجات متطرفة
- Cيتساوى المتوسط والوسيط دائمًا
- Dيكون المتوسط أكبر من الوسيط
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
وجدت دراسة أن الطلاب الذين ينامون أكثر يحصلون على درجات أعلى. أي تعديل في التصميم يسمح على أفضل وجه باستنتاج سببي؟
- Aاستطلاع عدد أكبر من الطلاب
- Bقياس الدرجات بدقة أكبر
- Cتوزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة
- Dالطلب من الطلاب الإبلاغ عن نومهم مرتين وأخذ متوسط التقريرين
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 18, 14, 58, 20, 30, 47.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 180؟
μ = 170σ = 10x = 180
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و5 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
7 / 5
P =
6.الاحتمالصعبة
يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,1، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟
n = 7p = 0,1k = 2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 55 و 67 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 67
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 90% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 12. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 324 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
90%n₁ = 36E₁ = 12n₂ = 324
E₂ =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 6 قطعة، متوسط المحصول 16,5 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 27,5 kg، الانحراف المعياري 2 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 16,5s₁ = 4,5n₂ = 6x̄₂ = 27,5s₂ = 290%t(10) = 1,812
الحد الأدنى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 497,9 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 497,9s = 4n = 25
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.
σ = 10E = 1,590%
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (16, 59). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(16, 59)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2402 × 2
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 8 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط
لماذا هذه هي الإجابة
ترفع قيم قليلة مرتفعة جدًا في الذيل الأيمن المتوسطَ فوق الوسيط، ولهذا يُذكر الوسيط كثيرًا في البيانات الملتوية.
الإجابة
D · يكون المتوسط أكبر من الوسيط
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · توزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة
لماذا هذه هي الإجابة
وحده التلاعب بالنوم مع التوزيع العشوائي يضبط المتغيرات الثالثة ويسمح بالاستدلال السببي ضمن الحدود الأخلاقية.
الإجابة
C · توزيع الطلاب عشوائيًا على جداول نوم مختلفة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 16,3
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 224/7 = 32
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 5² + (−14)² + (−18)² + 26² + (−12)² + (−2)² + 15² = 1594
الانحراف المعياري
s = √(1594/6) = 16,3
الإجابة
s = 16,3
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3182
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182
الإجابة
P = 0,3182
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,124
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صيغة ذي الحدين
P(X = 2) = 21·0,12·0,95 = 21·0,01·0,5905 = 0,124
الإجابة
P = 0,124
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,4206
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,2) − Φ(−1) = 0,5793 − 0,1587 = 0,4206
الإجابة
P = 0,4206
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 253,4 g
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
العودة إلى x
x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g
الإجابة
x = 253,37 g
9.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/324) = 0,3333
الهامش الجديد
E₂ = 12·0,3333 = 4
الإجابة
E₂ = 4
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −14,64 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (5·4,5² + 5·2²)/10 = 12,13
sp = 3,482
هامش الخطأ
E = 1,812·3,482·√(1/6 + 1/6) = 3,643
الفترة
−11 ± 3,643 → [−14,64, −7,357]
الإجابة
الحد الأدنى = −14,64 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,625
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
إحصائية الاختبار
t = (497,9 − 500)/0,8 = −2,625
الإجابة
t = −2,625
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 121
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·10/1,5)² = 120,3
قرّب إلى الأعلى
n = 121
الإجابة
n = 121
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9147
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 123/6 = 20,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 37,5
معامل التحديد
r² = −24,5²/(17,5·37,5) = 0,9147
الإجابة
r² = 0,9147
نحو 91,47% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −4,05
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 382/5 = 76,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178
خط الانحدار
b = 178/40 = 4,45
a = 76,4 − 4,45·19 = −8,15
ŷ = −8,15 + 4,45·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = −8,15 + 4,45·16 = 63,05
البُواقي
e = 59 − 63,05 = −4,05
الإجابة
e = −4,05
تقع النقطة تحت الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 0,07937
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الرجال: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
النساء: 120·72/240 = 36, 120·168/240 = 84
إحصاءة مربع كاي
χ² = (35 − 36)²/36 + (85 − 84)²/84 + (37 − 36)²/36 + (83 − 84)²/84
χ² = 0,07937
الإجابة
χ² = 0,07937
df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 18,48
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 8 − 1 = 7
الجدول
χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475
الإجابة
χ²crit = 18,475
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology