الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
تعني قيمة p تساوي 0,03 أنه:
- Aستتكرر النتيجة في 97% من الحالات
- Bبالنظر إلى البيانات الملاحَظة، فاحتمال صحة الفرضية الصفرية 3% فقط
- Cلو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
- Dالتأثير كبير
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تجد دراسة ارتباطًا قدره r = 0,05 بين الطول ومعدل الذكاء لدى لاعبي كرة السلة المحترفين فقط، رغم أنه أعلى في عموم السكان. ما الذي يفسر الارتباط الضعيف على أفضل نحو؟
- Aأثر السقف في اختبارات الذكاء
- Bتقييد المدى
- Cخصائص الطلب
- Dالانحدار نحو المتوسط
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 44, 47, 35, 31, 19.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 30.
μ = 50σ = 20x = 30
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 5
P =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 5. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3Y = −2X + 5
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 12 منها عن 1062 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1062 kg
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 60 هاتفًا، المتوسط 94,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 95,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 60x̄₁ = 94,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 95,5 hσ₂ = 14 h90%
الحد الأدنى = h
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 16. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 4 على الأكثر؟
σ = 16E = 490%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 502,1 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 15n = 25
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.
α = 0,05القوة = 95%δ = 1σ = 8zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 35؟
n = 6ŷ = 35
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 802 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟
k = 9
df =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
لماذا هذه هي الإجابة
قيمة p هي احتمال الحصول على نتائج متطرفة بقدر النتائج الملاحظة أو أكثر لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة، ولا تعطي احتمال صحة فرضية ولا حجم التأثير.
الإجابة
C · لو كانت الفرضية الصفرية صحيحة لظهرت بيانات بهذا التطرف في نحو 3% من الحالات
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · تقييد المدى
لماذا هذه هي الإجابة
عندما لا تغطي العينة إلا مدى ضيقًا من متغير ما، تضعف الارتباطات التي يدخل فيها. ولاعبو كرة السلة جميعهم طوال القامة، فالطول لا يتفاوت إلا قليلًا.
الإجابة
B · تقييد المدى
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 9,995
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 213/6 = 35,5
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 1,5² + 8,5² + 11,5² + (−0,5)² + (−4,5)² + (−16,5)² = 499,5
الانحراف المعياري
s = √(499,5/5) = 9,995
الإجابة
s = 9,995
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (30 − 50)/20 = −1
الإجابة
z = −1
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,5981
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
الإجابة
P = 0,5981
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 3,919
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 3,6, Var(X) = 3,84, σX = 1,96
التغيير الخطي
σY = |−2|·1,96 = 3,919
الإجابة
σY = 3,919
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·3,6 + 5 = −2,2.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8413
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (1062 − 1020)/41,57 = 1
الاحتمال
P = Φ(1) = 0,8413
الإجابة
P = 0,8413
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 434,2 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
العودة إلى x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
الإجابة
x = 434,2 h
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −5,263 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 94,5 − 95,5 = −1
الخطأ المعياري
SE = √(16²/60 + 14²/80) = 2,592
هامش الخطأ
E = 1,645·2,592 = 4,263
الفترة
−1 ± 4,263 → [−5,263, 3,263]
الإجابة
الحد الأدنى = −5,263 h
الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 44
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·16/4)² = 43,3
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 44
الإجابة
n = 44
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 0,7
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
إحصائية الاختبار
t = (502,1 − 500)/3 = 0,7
الإجابة
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 693
حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = ((1,645 + 1,645)·8/1)² = 692,7
قرّب إلى الأعلى
n = 693
الإجابة
n = 693
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9398
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 297/5 = 59,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Syy = Σ(y − ȳ)² = 435,2
معامل الارتباط
r = 124/√(40·435,2) = 0,9398
الإجابة
r = 0,9398
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 18,05
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 293/6 = 48,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245
خط الانحدار
b = 245/70 = 3,5
a = 48,83 − 3,5·22 = −28,17
ŷ = −28,17 + 3,5·x
حلّ لإيجاد x
x = (35 − (−28,17))/3,5 = 18,05
الإجابة
x = 18,05
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 2,496
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
ريفي: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
إحصاءة مربع كاي
χ² = (7 − 10)²/10 + (16 − 14)²/14 + (17 − 16)²/16 + (13 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (15 − 16)²/16
χ² = 2,496
الإجابة
χ² = 2,496
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: df = 8
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 9 − 1 = 8
الإجابة
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology