مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

ما نوع البيانات التي يجمعها سؤال مفتوح في المقابلة؟

Aبيانات نوعية
Bبيانات كمية اسمية فقط
Cبيانات نسبية
Dبيانات فترية

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في دراسات ميلغرام للطاعة اعتقد المشاركون أنهم يعطون صدمات كهربائية حقيقية. أي قضية أخلاقية تُثار بأكثر الطرق مباشرة، وكيف عولجت جزئيًا؟

Aاستخدام الأطفال، وعولج بموافقة الوالدين
Bالخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل
Cغياب مجموعة ضابطة، وعولج بتوزيع المشاركين عشوائيًا على الشروط
Dانعدام السرية، وعولج بنشر الأسماء

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 29, 36, 39, 21, 35.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأكبر من 82؟

μ = 100σ = 15x = 82

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 5

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €4 باحتمال 0,1 و€10 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 10 منها 793,1 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 793,1 kg

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 12 مفردة متوسطها 62 وانحرافها المعياري s = 5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 12x̄ = 62s = 590%t(11) = 1,796

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 39. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 39E = 1,590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 118,2 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 4n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 64 قياسًا متوسطها 200,4. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 200,4σ = 8n = 6495%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 124Σx² = 364Σy² = 2998Σxy = 1040

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 25,5.

n = 5x = 25,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، كبير».

مجموع الصف = 119مجموع العمود = 75N = 226

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 9

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · بيانات نوعية

لماذا هذه هي الإجابة

تنتج الأسئلة المفتوحة بيانات نوعية غنية يصعب تحليلها إحصائيًا مقارنة بإجابات الأسئلة المغلقة.

الإجابة

A · بيانات نوعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل

لماذا هذه هي الإجابة

خُدع المشاركون بشأن الصدمات وأظهر كثير منهم ضغطًا شديدًا. وأجرى ميلغرام إيضاحًا لاحقًا للمشاركين والتقوا «المتعلّم»، ووجدت متابعة أن معظمهم كانوا سعداء بمشاركتهم، لكن الأخلاقيات لا تزال موضع جدل.

الإجابة

B · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 7,141

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 160/5 = 32

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−3)² + 4² + 7² + (−11)² + 3² = 204

الانحراف المعياري

s = √(204/4) = 7,141

الإجابة

s = 7,141

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8849

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5981

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

الإجابة

P = 0,5981

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −0,4 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

القيمة المتوقعة

E(G) = 3·0,1 + 9·0,02 − 1·0,88 = −0,4 €

الإجابة

E(G) = −0,4 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9332

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (793,1 − 850)/37,95 = −1,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 48,55 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 درجة

الإجابة

x = 48,55 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 64,59

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 11, t = 1,796

هامش الخطأ

E = 1,796·5/√12 = 2,592

الفترة

62 ± 2,592 → [59,41, 64,59]

الإجابة

الحد الأعلى = 64,59

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 1830

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·39/1,5)² = 1829

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1830

الإجابة

n = 1830

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,25

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

إحصائية الاختبار

t = (118,2 − 120)/0,8 = −2,25

الإجابة

t = −2,25

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 202,4

هامش الخطأ

E = 1,96·8/√64 = 1,96

حد الفترة

U = 200,4 + 1,96 = 202,4

الإجابة

U = 202,4

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9853

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1040 − 42·124/6 = 172

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2998 − 124²/6 = 435,3

معامل الارتباط

r = 172/√(70·435,3) = 0,9853

الإجابة

r = 0,9853

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 72

المتوسطات

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 333/5 = 66,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

خط الانحدار

b = 324/90 = 3,6

a = 66,6 − 3,6·24 = −19,8

ŷ = −19,8 + 3,6·x

التنبؤ

ŷ = −19,8 + 3,6·25,5 = 72

الإجابة

ŷ = 72

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 39,49

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 119·75/226 = 39,49

الإجابة

E = 39,49

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 7

درجات الحرية

df = 9 − 1 − 1 = 7

الإجابة

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology