مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي إحصاء مناسب للعلاقة بين مجموعتين من الرتب، مثل ترتيب الحكام للوحات؟

Aاختبار t المستقل
Bكاي تربيع
Cمعامل سبيرمان (rho)
Dمعامل بيرسون (r)

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

زيادة حجم العيّنة في دراسة تؤدي بشكل مباشر أكثر إلى:

Aزيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي
Bزيادة حجم التأثير
Cيضمن نتيجة دالة إحصائيًا إن وُجد أي تأثير
Dإزالة كل تحيّز من العيّنة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 15, 27, 23, 37, 55, 28, 54.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 85؟

μ = 70σ = 12x = 85

P =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 7 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 7

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 5 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,7. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 5p = 0,7

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 93,25 و 118 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 118

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة30%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 64 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3,7. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 99% مبنية على 576 مشاهدة؟

95%n₁ = 64E₁ = 3,799%n₂ = 576

E₂ =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 5. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 5E = 0,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 115,1 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,1s = 20n = 81

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 2,5 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 7. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 95%δ = 2,5σ = 7z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 98؟

n = 6ŷ = 98

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 802 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · معامل سبيرمان (rho)

لماذا هذه هي الإجابة

يقيس ارتباط سبيرمان للرتب قوة العلاقة الرتيبة بين متغيرين مرتبين أو رتبيين.

الإجابة

C · معامل سبيرمان (rho)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

لماذا هذه هي الإجابة

تقلّل العيّنات الأكبر الخطأ المعياري فتزيد القوة، لكنها لا تغيّر حجم التأثير الحقيقي ولا تزيل التحيّز المنهجي.

الإجابة

A · زيادة القوة الإحصائية لاكتشاف تأثير حقيقي

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,37

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 239/7 = 34,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−19,14)² + (−7,143)² + (−11,14)² + 2,857² + 20,86² + (−6,143)² + 19,86² = 1417

الانحراف المعياري

s = √(1417/6) = 15,37

الإجابة

s = 15,37

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,1056

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

الإجابة

P = 0,1056

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7209

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

الإجابة

P = 0,7209

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,03078

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,3⁵ = 0,00243

P(X = 1) = 5·0,7·0,3⁴ = 0,02835

اجمعها

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

الإجابة

P = 0,03078

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5586

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,2) − Φ(−0,45) = 0,8849 − 0,3264 = 0,5586

الإجابة

P = 0,5586

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 59,8 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 درجة

الإجابة

x = 59,8 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 1,621

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/576) = 0,4381

الهامش الجديد

E₂ = 3,7·0,4381 = 1,621

الإجابة

E₂ = 1,621

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 385

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·5/0,5)² = 384,2

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 385

الإجابة

n = 385

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,205

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

إحصائية الاختبار

t = (115,1 − 120)/2,222 = −2,205

الإجابة

t = −2,205

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 85

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,645)·7/2,5)² = 84,86

قرّب إلى الأعلى

n = 85

الإجابة

n = 85

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,8023

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 18,8

معامل الارتباط

r = −11/√(10·18,8) = −0,8023

الإجابة

r = −0,8023

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 31,43

المتوسطات

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 466/6 = 77,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 540

خط الانحدار

b = 540/157,5 = 3,429

a = 77,67 − 3,429·25,5 = −9,762

ŷ = −9,762 + 3,429·x

حلّ لإيجاد x

x = (98 − (−9,762))/3,429 = 31,43

الإجابة

x = 31,43

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,267

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

المناوبة الليلية: 40·16/80 = 8, 40·24/80 = 12, 40·40/80 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (10 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (16 − 20)²/20 + (6 − 8)²/8 + (10 − 12)²/12 + (24 − 20)²/20

χ² = 3,267

الإجابة

χ² = 3,267

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 6,807

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 50, 50

العمر 31–50: 30, 30

العمر 51+: 20, 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (59 − 50)²/50 + (41 − 50)²/50 + (26 − 30)²/30 + (34 − 30)²/30 + (15 − 20)²/20 + (25 − 20)²/20

χ² = 6,807

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

6,807 < 9,210

الإجابة

χ² = 6,807

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology