الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
في تحليل المحتوى، يُتحقق من الثبات بين المقيّمين عن طريق:
- Aسؤال المشاركين لاحقًا عما إذا كان ترميز الباحث لموادهم صحيحًا
- Bقيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
- Cترميز المادة مرتين في اليوم نفسه
- Dاستخدام عيّنة أكبر من المواد
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
في النظرية المجذّرة (grounded theory) يستمر جمع البيانات حتى:
- Aبلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
- Bالحصول على قيمة p أقل من 0,05
- Cمقابلة 1,000 مشارك على الأقل
- Dتأكيد الفرضية الأصلية
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 58, 41, 60, 27, 58, 60, 51.
n = 7
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 88.
μ = 100σ = 10x = 88
z =
5.الاحتمالمتوسطة
يُرمى حجر نرد منتظم 2 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟
n = 2
P =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,2. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,2
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 101,8 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 15 مفردة متوسطها 119 وانحرافها المعياري s = 9,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 15x̄ = 119s = 9,595%t(14) = 2,145
E =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 25. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟
σ = 25E = 1,599%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 107,3 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 107,3s = 20n = 64
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 100 قياسًا متوسطها 75,8. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 75,8σ = 5n = 10095%
U =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 42Σy = 76Σx² = 364Σy² = 1078Σxy = 620
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 48؟
n = 5ŷ = 48
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 2402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.
N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · قيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
لماذا هذه هي الإجابة
إذا أعطى مرمِّزون مستقلون رموزًا متشابهة للبيانات نفسها (اتفاق أو ارتباط مرتفع)، فإن نظام الترميز ثابت.
الإجابة
B · قيام باحثَين بترميز المادة نفسها ومقارنة النتائج
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
لماذا هذه هي الإجابة
تطوّر النظرية المجذّرة النظرية استقرائيًا، فتجمع البيانات وترمّزها معًا، وتتوقف عن المعاينة عندما لا تعود البيانات الجديدة تطوّر الفئات.
الإجابة
A · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 12,49
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 355/7 = 50,71
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 7,286² + (−9,714)² + 9,286² + (−23,71)² + 7,286² + 9,286² + 0,2857² = 935,4
الانحراف المعياري
s = √(935,4/6) = 12,49
الإجابة
s = 12,49
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1,2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (88 − 100)/10 = −1,2
الإجابة
z = −1,2
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3056
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الحدث المتمم
P(لا ستة) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
الإجابة
P = 0,3056
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,4362
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,89 = 0,1342
P(X = 1) = 9·0,2·0,88 = 0,302
اجمعها
P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362
الإجابة
P = 0,4362
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,6915
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
الذيل العلوي
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
الإجابة
P = 0,6915
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,8849
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع الفرق
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
الاحتمال
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
الإجابة
P = 0,8849
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 5,261
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 14, t = 2,145
هامش الخطأ
E = 2,145·9,5/√15 = 5,261
الإجابة
E = 5,261
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 1844
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·25/1,5)² = 1843
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1844
الإجابة
n = 1844
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 2,92
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
إحصائية الاختبار
t = (107,3 − 100)/2,5 = 2,92
الإجابة
t = 2,92
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: U = 76,78
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·5/√100 = 0,98
حد الفترة
U = 75,8 + 0,98 = 76,78
الإجابة
U = 76,78
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9794
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 620 − 42·76/6 = 88
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1078 − 76²/6 = 115,3
معامل الارتباط
r = 88/√(70·115,3) = 0,9794
الإجابة
r = 0,9794
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 21,67
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 216/5 = 43,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
خط الانحدار
b = 258/90 = 2,867
a = 43,2 − 2,867·20 = −14,13
ŷ = −14,13 + 2,867·x
حلّ لإيجاد x
x = (48 − (−14,13))/2,867 = 21,67
الإجابة
x = 21,67
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 3,91
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
ريفي: 120·48/240 = 24, 120·108/240 = 54, 120·84/240 = 42
إحصاءة مربع كاي
χ² = (18 − 24)²/24 + (56 − 54)²/54 + (46 − 42)²/42 + (30 − 24)²/24 + (52 − 54)²/54 + (38 − 42)²/42
χ² = 3,91
الإجابة
χ² = 3,91
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 8,247
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المصنع A: 48, 32
المصنع B: 48, 32
المصنع C: 36, 24
إحصاءة مربع كاي
χ² = (43 − 48)²/48 + (37 − 32)²/32 + (58 − 48)²/48 + (22 − 32)²/32 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24
χ² = 8,247
القرار
df = 2, χ²crit = 5,991
8,247 > 5,991
الإجابة
χ² = 8,247
χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology