الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يتحقق خبراء مما إذا كانت بنود امتحان رياضيات تغطي جميع موضوعات المنهج. هذا يقيّم:
- Aالصدق البيئي
- Bثبات الاختبار وإعادة الاختبار
- Cصدق المحتوى
- Dالصدق التنبؤي
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
تذكر دراسة t(28) = 2,50، p = .018 لمجموعتين مستقلتين متساويتين في الحجم. كم مشاركًا شارك؟
- A56
- B30
- C28
- D29
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 12, 19, 10, 15, 50.
n = 5
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 70؟
μ = 50σ = 20x = 70
P =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 5 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 5p = 0,5
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0233. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,0233
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 61,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 70,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 19 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 61,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 70,5 hσ₂ = 19 h90%
الحد الأعلى = h
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 14 قطعة، متوسط المحصول 21,5 kg، الانحراف المعياري 8,5 kg. مجموعة القطع 2: 8 قطعة، المتوسط 15,5 kg، الانحراف المعياري 5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 14x̄₁ = 21,5s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 15,5s₂ = 595%t(20) = 2,086
الحد الأعلى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 501 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501s = 4n = 25
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 100 قياسًا متوسطها 99,3. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 99,3σ = 5n = 10095%
L =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 6
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1202 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · صدق المحتوى
لماذا هذه هي الإجابة
صدق المحتوى هو مدى تغطية القياس لجميع الجوانب ذات الصلة من البنية، ويحكم عليه الخبراء عادةً.
الإجابة
C · صدق المحتوى
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · 30
لماذا هذه هي الإجابة
درجات الحرية 28 تعني 28 + 2 = 30 مشاركًا، 15 في كل مجموعة.
الإجابة
B · 30
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 16,45
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 106/5 = 21,2
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−9,2)² + (−2,2)² + (−11,2)² + (−6,2)² + 28,8² = 1083
الانحراف المعياري
s = √(1083/4) = 16,45
الإجابة
s = 16,45
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,1587
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = 1
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
الإجابة
P = 0,1587
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 0,6475
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
التباين
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
الإجابة
Var(X) = 0,6475
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,1875
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,55 = 0,03125
P(X = 1) = 5·0,5·0,54 = 0,1563
اجمعها
P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875
الإجابة
P = 0,1875
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,99
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,0233 = 0,9767
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9767 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,99
الإجابة
z = 1,99
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 243,6 g
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
العودة إلى x
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
الإجابة
x = 243,59 g
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = −3,885 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 61,5 − 70,5 = −9
الخطأ المعياري
SE = √(14²/80 + 19²/50) = 3,11
هامش الخطأ
E = 1,645·3,11 = 5,115
الفترة
−9 ± 5,115 → [−14,12, −3,885]
الإجابة
الحد الأعلى = −3,885 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 12,9 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (13·8,5² + 7·5²)/20 = 55,71
sp = 7,464
هامش الخطأ
E = 2,086·7,464·√(1/14 + 1/8) = 6,901
الفترة
6 ± 6,901 → [−0,9007, 12,9]
الإجابة
الحد الأعلى = 12,9 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 1,25
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
إحصائية الاختبار
t = (501 − 500)/0,8 = 1,25
الإجابة
t = 1,25
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 98,32
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·5/√100 = 0,98
حد الفترة
L = 99,3 − 0,98 = 98,32
الإجابة
L = 98,32
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9922
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 537/6 = 89,5
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 479
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3330
معامل الارتباط
r = 479/√(70·3330) = 0,9922
الإجابة
r = 0,9922
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 48,23
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 329/6 = 54,83
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231
خط الانحدار
b = 231/70 = 3,3
a = 54,83 − 3,3·6 = 35,03
ŷ = 35,03 + 3,3·x
التنبؤ
ŷ = 35,03 + 3,3·4 = 48,23
الإجابة
ŷ = 48,23
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 9,046
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
الطلاب: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27
الموظفون: 60·18/120 = 9, 60·48/120 = 24, 60·54/120 = 27
إحصاءة مربع كاي
χ² = (10 − 9)²/9 + (31 − 24)²/24 + (19 − 27)²/27 + (8 − 9)²/9 + (17 − 24)²/24 + (35 − 27)²/27
χ² = 9,046
الإجابة
χ² = 9,046
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 15,51
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
الجدول
χ²crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507
الإجابة
χ²crit = 15,507
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology