مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

فترة الثقة 95% لمتوسط قدره 50 هي من 46 إلى 54. ما أدق تفسير؟

Aحصل 95% من المشاركين الأفراد في العينة على درجات بين 46 و54 في المقياس
Bهناك احتمال 95% أن يكون متوسط العينة 50
Cالنتيجة غير دالة
Dالإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تجد دراسة ارتباطًا قدره r = 0,05 بين الطول ومعدل الذكاء لدى لاعبي كرة السلة المحترفين فقط، رغم أنه أعلى في عموم السكان. ما الذي يفسر الارتباط الضعيف على أفضل نحو؟

Aتقييد المدى
Bخصائص الطلب
Cالانحدار نحو المتوسط
Dأثر السقف في اختبارات الذكاء

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 30, 58, 49, 29, 47.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 84.

μ = 100σ = 8x = 84

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25Y = 2X + 10

σ_Y =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,6 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 12 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −3,6 وانحرافها المعياري 7,3. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 12d̄ = −3,6s_d = 7,395%t(11) = 2,201

E = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,05 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 122,9 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,9s = 5n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 201,6. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 201,6σ = 8n = 8199%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7, 24). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، مرتفع».

مجموع الصف = 85مجموع العمود = 41N = 129

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي فترة الثقة 95% مدى من القيم المعقولة لمعلمة المجتمع. والفترات الأضيق، الناتجة عن عينات أكبر، تعني تقديرات أدق.

الإجابة

D · الإجراء المستخدم ينتج فترات تحتوي على المتوسط الحقيقي في 95% من الحالات

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · تقييد المدى

لماذا هذه هي الإجابة

عندما لا تغطي العينة إلا مدى ضيقًا من متغير ما، تضعف الارتباطات التي يدخل فيها. ولاعبو كرة السلة جميعهم طوال القامة، فالطول لا يتفاوت إلا قليلًا.

الإجابة

A · تقييد المدى

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,27

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 227/6 = 37,83

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−23,83)² + (−7,833)² + 20,17² + 11,17² + (−8,833)² + 9,167² = 1323

الانحراف المعياري

s = √(1323/5) = 16,27

الإجابة

s = 16,27

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (84 − 100)/8 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,41

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2,3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,7

التباين

Var(X) = 6,7 − 2,3² = 1,41

الإجابة

Var(X) = 1,41

6.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 24,08

تشتت X

μ = 25, Var(X) = 145, σ_X = 12,04

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·12,04 = 24,08

الإجابة

σ_Y = 24,08

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·25 + 10 = 60.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,1151

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

الإجابة

P = 0,1151

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,638 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 11, t = 2,201

هامش الخطأ

E = 2,201·7,3/√12 = 4,638

الإجابة

E = 4,638 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6

قرّب إلى الأعلى

n = 664

الإجابة

n = 664

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

إحصائية الاختبار

t = (122,9 − 120)/1 = 2,9

الإجابة

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 203,9

هامش الخطأ

E = 2,576·8/√81 = 2,29

حد الفترة

U = 201,6 + 2,29 = 203,9

الإجابة

U = 203,9

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9542

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 158,8

معامل التحديد

r² = −51,5²/(17,5·158,8) = 0,9542

الإجابة

r² = 0,9542

نحو 95,42% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 156/6 = 26

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

خط الانحدار

b = 240/70 = 3,429

a = 26 − 3,429·7 = 2

ŷ = 2 + 3,429·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 2 + 3,429·7 = 26

البُواقي

e = 24 − 26 = −2

الإجابة

e = −2

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 27,02

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 85·41/129 = 27,02

الإجابة

E = 27,02

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,365

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 48, 32

العمر 31–50: 48, 32

العمر 51+: 24, 16

إحصاءة مربع كاي

χ² = (41 − 48)²/48 + (39 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16

χ² = 5,365

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,365 < 5,991

الإجابة

χ² = 5,365

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology