مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

اختبار سهل إلى درجة أن معظم المشاركين يحصلون على درجات قريبة من الحد الأقصى. يُسمّى ذلك:

Aأثر الأرضية
Bأثر السقف
Cأثر الترتيب
Dأثر الممارسة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُجري باحث خمسة اختبارات t ويريد إبقاء معدل الخطأ الكلي من النوع الأول عند 0,05 باستخدام تصحيح بونفيروني. ما مستوى الدلالة الذي يجب استخدامه لكل اختبار؟

A0,025
B0,25
C0,05
D0,01

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 16, 19, 51, 34, 38, 17.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأكبر من 69؟

μ = 60σ = 15x = 69

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €3 للمشاركة. تربح €15 باحتمال 0,2 و€60 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €3€15: p = 0,2€60: p = 0,05

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 108,2 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 66,5 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 8x̄ = 66,5s = 699%t(7) = 3,499

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 40. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 4 على الأكثر؟

σ = 40E = 490%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 24. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 46,4. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 50σ = 24n = 144x̄ = 46,4H₁: μ < μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 5E = 1,590%

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4,5, 52). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 52)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، منخفض».

مجموع الصف = 94مجموع العمود = 68N = 175

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 5 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 5

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · أثر السقف

لماذا هذه هي الإجابة

تخفي آثار السقف الفروق بين الشروط لأن أحدًا لا يستطيع الحصول على درجة أعلى. أما آثار الأرضية فهي العكس، عندما تكون المهمة صعبة جدًا.

الإجابة

B · أثر السقف

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · 0,01

لماذا هذه هي الإجابة

يقسم تصحيح بونفيروني α على عدد المقارنات: 0,05 / 5 = 0,01. وهو بسيط لكنه متحفظ، مما يزيد خطر الأخطاء من النوع الثاني.

الإجابة

D · 0,01

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,16

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 175/6 = 29,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−13,17)² + (−10,17)² + 21,83² + 4,833² + 8,833² + (−12,17)² = 1003

الانحراف المعياري

s = √(1003/5) = 14,16

الإجابة

s = 14,16

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,9097

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,35

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,1 = 6,35

التباين

Var(X) = 6,35 − 2,35² = 0,8275

σ = √0,8275 = 0,9097

الإجابة

σ = 0,9097

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 3 €

النتائج الصافية

G: 12 (p = 0,2), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)

القيمة المتوقعة

E(G) = 12·0,2 + 57·0,05 − 3·0,75 = 3 €

الإجابة

E(G) = 3 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 73,92

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·6/√8 = 7,422

الفترة

66,5 ± 7,422 → [59,08, 73,92]

الإجابة

الحد الأعلى = 73,92

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 271

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·40/4)² = 270,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 271

الإجابة

n = 271

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,03593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (46,4 − 50)/2 = −1,8

مساحة الذيل

Φ(1,8) = 0,9641

1 − Φ(1,8) = 0,0359

القيمة الاحتمالية

p = 0,03593

الإجابة

p = 0,03593

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 31

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·5/1,5)² = 30,07

قرّب إلى الأعلى

n = 31

الإجابة

n = 31

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,8808

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 121/6 = 20,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92,83

معامل الارتباط

r = −35,5/√(17,5·92,83) = −0,8808

الإجابة

r = −0,8808

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 1,7

المتوسطات

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 242/5 = 48,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

خط الانحدار

b = 38/10 = 3,8

a = 48,4 − 3,8·4 = 33,2

ŷ = 33,2 + 3,8·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 33,2 + 3,8·4,5 = 50,3

البُواقي

e = 52 − 50,3 = 1,7

الإجابة

e = 1,7

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 36,53

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 94·68/175 = 36,53

الإجابة

E = 36,53

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 4

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

الإجابة

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology