مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

أي اختبار يناسب مقارنة متوسطي مجموعتين مستقلتين ببيانات فترية تقارب التوزيع الطبيعي؟

Aارتباط بيرسون
Bاختبار t للعيّنات المستقلة
Cاختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة
Dاختبار مربع كاي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تستخدم دراسة للذاكرة تصميم القياسات المتكررة يتعلم فيه الجميع القائمة A ثم القائمة B، ويكون الاستدعاء أفضل للقائمة B. ما العيب الأرجح؟

Aاستخدام مستوى قياس رتبي
Bالفروق الفردية بين المجموعات
Cحجم عينة كبير جدًا
Dآثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 54, 44, 14, 38, 39, 34.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأكبر من 72,5؟

μ = 50σ = 15x = 72,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,2

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €30 باحتمال 0,3 و€200 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€30: p = 0,3€200: p = 0,02

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8293. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8293

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 13 مفردة متوسطها 56,5 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 13x̄ = 56,5s = 695%t(12) = 2,179

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 28. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 28E = 599%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 5. متوسط عينة عشوائية من 100 مشاهدة هو 99,14. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 5n = 100x̄ = 99,14H₁: μ < μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 59. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 59σ = 20n = 3699%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1771Σxy = 260

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 28). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(11, 28)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · اختبار t للعيّنات المستقلة

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t للعيّنات المستقلة متوسطي مجموعتين. مربع كاي للتكرارات، وويلكوكسون للعيّنات المرتبطة ذات البيانات اللامعلمية.

الإجابة

B · اختبار t للعيّنات المستقلة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

لماذا هذه هي الإجابة

عندما يمر جميع المشاركين بالشروط بالترتيب نفسه قد يعكس التحسن الممارسةَ لا القائمة. وتضبط الموازنة (ABBA أو نصفهم AB ونصفهم BA) ذلك.

الإجابة

D · آثار الترتيب مثل الممارسة، لأن الشروط لم تُوازَن

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,27

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 223/6 = 37,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 16,83² + 6,833² + (−23,17)² + 0,8333² + 1,833² + (−3,167)² = 880,8

الانحراف المعياري

s = √(880,8/5) = 13,27

الإجابة

s = 13,27

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 10,68

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,25 + 40·0,2 = 24

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,25 + 1600·0,2 = 690

التباين

Var(X) = 690 − 24² = 114

σ = √114 = 10,68

الإجابة

σ = 10,68

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 3 €

النتائج الصافية

G: 20 (p = 0,3), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)

القيمة المتوقعة

E(G) = 20·0,3 + 190·0,02 − 10·0,68 = 3 €

الإجابة

E(G) = 3 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,37

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8293)/2 = 0,9147

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9147 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,37

الإجابة

z = 1,37

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 52,87

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 12, t = 2,179

هامش الخطأ

E = 2,179·6/√13 = 3,626

الفترة

56,5 ± 3,626 → [52,87, 60,13]

الإجابة

الحد الأدنى = 52,87

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 209

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·28/5)² = 208,1

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 209

الإجابة

n = 209

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,04272

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5

z = (99,14 − 100)/0,5 = −1,72

مساحة الذيل

Φ(1,72) = 0,9573

1 − Φ(1,72) = 0,0427

القيمة الاحتمالية

p = 0,04272

الإجابة

p = 0,04272

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 50,41

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√36 = 8,587

حد الفترة

L = 59 − 8,587 = 50,41

الإجابة

L = 50,41

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9361

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 260 − 15·93/5 = −19

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1771 − 93²/5 = 41,2

معامل الارتباط

r = −19/√(10·41,2) = −0,9361

الإجابة

r = −0,9361

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2,186

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 117/6 = 19,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187

خط الانحدار

b = 187/70 = 2,671

a = 19,5 − 2,671·7 = 0,8

ŷ = 0,8 + 2,671·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 0,8 + 2,671·11 = 30,19

البُواقي

e = 28 − 30,19 = −2,186

الإجابة

e = −2,186

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 20,42

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 120·72/180 = 48, 120·108/180 = 72

غير المدخّنين: 60·72/180 = 24, 60·108/180 = 36

إحصاءة مربع كاي

χ² = (34 − 48)²/48 + (86 − 72)²/72 + (38 − 24)²/24 + (22 − 36)²/36

χ² = 20,42

الإجابة

χ² = 20,42

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,319

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 24, 36

العمر 31–50: 40, 60

العمر 51+: 32, 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60 + (26 − 32)²/32 + (54 − 48)²/48

χ² = 5,319

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,319 < 9,210

الإجابة

χ² = 5,319

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology