مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التجربة الميدانية، يقوم الباحث بـ:

Aتحليل بيانات جمعها آخرون
Bالتلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية
Cالملاحظة فقط دون التلاعب بأي شيء
Dالتلاعب بالمتغير المستقل في مختبر

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يقيس باحث أثر الضوضاء في التركيز. صادف أن اختُبر المشاركون في شرط الضوضاء صباحًا وفي شرط الهدوء بعد الظهر. ما المشكلة؟

Aفي الدراسة شروط كثيرة جدًا
Bوقت اليوم متغير مُربِك
Cوقت اليوم هو المتغير التابع
Dالبيانات على المستوى الاسمي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 19, 28, 47, 24, 49, 13.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 40.

μ = 50σ = 5x = 40

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 8 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 8

P =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,5. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,5

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9370. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9370

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 11 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −5,2 وانحرافها المعياري 3,4. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 11d̄ = −5,2s_d = 3,495%t(10) = 2,228

الحد الأدنى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 15 قطعة، متوسط المحصول 94 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 16 قطعة، المتوسط 96,5 kg، الانحراف المعياري 6 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 94s₁ = 5,5n₂ = 16x̄₂ = 96,5s₂ = 699%t(29) = 2,756

E = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 46,1 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,1s = 12n = 64

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 45 من 150 مريضًا على العلاج A، و 61 من 150 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 61n₂ = 150

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 18). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 18)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

لماذا هذه هي الإجابة

تزيد التجارب الميدانية، مثل مواقف المساعدة المدبّرة في الشارع، الصدقَ البيئي لكنها تمنح تحكمًا أقل في المتغيرات الدخيلة وتثير مسائل تتعلق بالموافقة.

الإجابة

B · التلاعب بالمتغير المستقل في بيئة واقعية

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · وقت اليوم متغير مُربِك

لماذا هذه هي الإجابة

لأن الضوضاء ووقت الاختبار يتغيران معًا، فقد يرجع أي فرق إلى أيٍّ منهما. والتوزيع العشوائي لأوقات الاختبار أو تثبيت الوقت يزيل المتغير المُربِك.

الإجابة

B · وقت اليوم متغير مُربِك

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,83

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 180/6 = 30

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−2)² + 17² + (−6)² + 19² + (−17)² = 1100

الانحراف المعياري

s = √(1100/5) = 14,83

الإجابة

s = 14,83

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (40 − 50)/5 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7674

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

الإجابة

P = 0,7674

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,01953

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

اجمعها

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

الإجابة

P = 0,01953

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,53

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9370 = 0,0630

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0630 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,53

الإجابة

z = −1,53

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −7,484 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 10, t = 2,228

هامش الخطأ

E = 2,228·3,4/√11 = 2,284

الفترة

−5,2 ± 2,284 → [−7,484, −2,916]

الإجابة

الحد الأدنى = −7,484 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: E = 5,709 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (14·5,5² + 15·6²)/29 = 33,22

s_p = 5,764

هامش الخطأ

E = 2,756·5,764·√(1/15 + 1/16) = 5,709

الإجابة

E = 5,709 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,6

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

إحصائية الاختبار

t = (46,1 − 50)/1,5 = −2,6

الإجابة

t = −2,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −1,933

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 45/150 = 0,3

p̂₂ = 61/150 = 0,4067

p̂ = 106/300 = 0,3533

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,3533·0,6467·(1/150 + 1/150)) = 0,0552

إحصائية الاختبار

z = (0,3 − 0,4067)/0,0552 = −1,933

الإجابة

z = −1,933

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9915

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 280/6 = 46,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 301,3

معامل الارتباط

r = 72/√(17,5·301,3) = 0,9915

الإجابة

r = 0,9915

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2,767

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 103/6 = 17,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5

خط الانحدار

b = −31,5/17,5 = −1,8

a = 17,17 − (−1,8)·3,5 = 23,47

ŷ = 23,47 − 1,8·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 23,47 + (−1,8)·1,5 = 20,77

البُواقي

e = 18 − 20,77 = −2,767

الإجابة

e = −2,767

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,3886

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

المناوبة الليلية: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

إحصاءة مربع كاي

χ² = (17 − 16)²/16 + (37 − 36)²/36 + (26 − 28)²/28 + (23 − 24)²/24 + (53 − 54)²/54 + (44 − 42)²/42

χ² = 0,3886

الإجابة

χ² = 0,3886

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,885

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 18, 42

العمر 31–50: 24, 56

العمر 51+: 18, 42

إحصاءة مربع كاي

χ² = (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (14 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42

χ² = 1,885

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

1,885 < 5,991

الإجابة

χ² = 1,885

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology