مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

في التوزيع الطبيعي، ما النسبة التقريبية للدرجات الواقعة ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط؟

A68%
B95%
C50%
D99,7%

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في البحث النوعي، تعني الانعكاسية (reflexivity) أن الباحث:

Aيستخدم عينة عشوائية لإزالة التحيّز
Bيحوّل المحاور إلى بيانات رقمية
Cيكرر الدراسة للتحقق من الثبات
Dيتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 46, 58, 50, 53.

n = 5

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 40.

μ = 60σ = 20x = 40

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

8 / 4

P =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,25 و€50 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€10: p = 0,25€50: p = 0,01

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9692. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9692

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = درجة

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 مفردة متوسطها 25,5 وانحرافها المعياري s = 7,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 16x̄ = 25,5s = 7,590%t(15) = 1,753

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 37E = 290%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 100 جزءًا متوسط طولها 77 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 6 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 79,4 mm، والانحراف المعياري المعلوم 5 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 100x̄₁ = 77 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 30x̄₂ = 79,4 mmσ₂ = 5 mm

z =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.10 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 3. في الواقع المتوسط 49.15. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 49,15σ = 3n = 36α = 0,10

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 108؟

n = 5ŷ = 108

x =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · 68%

لماذا هذه هي الإجابة

تقع نحو 68% من الدرجات ضمن ±1 SD، ونحو 95% ضمن ±2 SD، ونحو 99,7% ضمن ±3 SD.

الإجابة

A · 68%

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل

لماذا هذه هي الإجابة

تعترف الانعكاسية بتأثير الباحث في جمع البيانات وتفسيرها، وهي معيار جودة أساسي في العمل النوعي.

الإجابة

D · يتأمل في كيفية تأثير خلفيته وافتراضاته في التحليل

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 7,918

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 244/5 = 48,8

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,8)² + (−2,8)² + 9,2² + 1,2² + 4,2² = 250,8

الانحراف المعياري

s = √(250,8/4) = 7,918

الإجابة

s = 7,918

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (40 − 60)/20 = −1

الإجابة

z = −1

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,4242

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

الإجابة

P = 0,4242

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −2 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 5 (p = 0,25), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)

القيمة المتوقعة

E(G) = 5·0,25 + 45·0,01 − 5·0,74 = −2 €

الإجابة

E(G) = −2 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,16

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9692)/2 = 0,9846

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9846 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,16

الإجابة

z = 2,16

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 52,18 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

العودة إلى x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 درجة

الإجابة

x = 52,18 درجة

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 28,79

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 15, t = 1,753

هامش الخطأ

E = 1,753·7,5/√16 = 3,287

الفترة

25,5 ± 3,287 → [22,21, 28,79]

الإجابة

الحد الأعلى = 28,79

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 927

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·37/2)² = 926,1

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 927

الإجابة

n = 927

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,197

اختبار الفرضيات: إحصائية الاختبار = (التقدير − القيمة وفق H₀)/(الخطأ المعياري وفق H₀). القيمة الاحتمالية (p-value) هي احتمال الحصول، بافتراض صحة H₀، على إحصائية متطرفة على الأقل بقدر الإحصائية المرصودة: المساحة في ذيل واحد لـ H₁ أحادية الطرف، وضعف مساحة الذيل لـ H₁ ثنائية الطرف. تُرفض H₀ عندما p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(6²/100 + 5²/30) = √1,193 = 1,092

إحصائية الاختبار

z = (77 − 79,4)/1,092 = −2,197

الإجابة

z = −2,197

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 66,2 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 50 − 1,282·0,5 = 49,36

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (49,36 − 49,15)/0,5 = 0,418

القدرة

القوة = P(Z < 0.418) = 66.2%

1 − β = 66,2%

الإجابة

1 − β = 66,2%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9735

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 582/5 = 116,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 543

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3365

معامل التحديد

r² = 543²/(90·3365) = 0,9735

الإجابة

r² = 0,9735

نحو 97,35% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 9,993

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 436/5 = 87,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

خط الانحدار

b = 278/40 = 6,95

a = 87,2 − 6,95·7 = 38,55

ŷ = 38,55 + 6,95·x

حلّ لإيجاد x

x = (108 − 38,55)/6,95 = 9,993

الإجابة

x = 9,993

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 2,112

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40

المناوبة الليلية: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20

إحصاءة مربع كاي

χ² = (13 − 16)²/16 + (25 − 24)²/24 + (42 − 40)²/40 + (11 − 8)²/8 + (11 − 12)²/12 + (18 − 20)²/20

χ² = 2,112

الإجابة

χ² = 2,112

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 13,5

التكرارات المتوقَّعة

العمر 18–30: 70, 30

العمر 31–50: 42, 18

العمر 51+: 28, 12

إحصاءة مربع كاي

χ² = (79 − 70)²/70 + (21 − 30)²/30 + (42 − 42)²/42 + (18 − 18)²/18 + (19 − 28)²/28 + (21 − 12)²/12

χ² = 13,5

القرار

df = 2, χ²_crit = 5,991

13,5 > 5,991

الإجابة

χ² = 13,5

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology