مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يتحقق خبراء مما إذا كانت بنود امتحان رياضيات تغطي جميع موضوعات المنهج. هذا يقيّم:

Aصدق المحتوى
Bالصدق البيئي
Cالصدق التنبؤي
Dثبات الاختبار وإعادة الاختبار

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

تقلل الرياضة الاكتئاب، ويحدث ذلك لأن الرياضة تحسّن النوم، وهو بدوره يخفض الاكتئاب. يوصف النوم على أفضل نحو بأنه:

Aمتغير معدِّل
Bمتغير دخيل
Cمتغير مضبوط
Dمتغير وسيط

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 19, 58, 26, 21, 43, 36, 14.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 40.

μ = 50σ = 5x = 40

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 9 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 9p = 0,3k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1112. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,1112

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 9 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 6,5 وانحرافها المعياري 6,1. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 9d̄ = 6,5s_d = 6,190%t(8) = 1,86

الحد الأعلى = mmHg

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 21. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 21E = 2,595%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 15 طالبًا، متوسط الدرجة 58,5، الانحراف المعياري 11,5. المجموعة 2: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 74,9، الانحراف المعياري 6,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 15x̄₁ = 58,5s₁ = 11,5n₂ = 7x̄₂ = 74,9s₂ = 6,5

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1,5 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 7. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 80%δ = 1,5σ = 7z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2202 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · صدق المحتوى

لماذا هذه هي الإجابة

صدق المحتوى هو مدى تغطية القياس لجميع الجوانب ذات الصلة من البنية، ويحكم عليه الخبراء عادةً.

الإجابة

A · صدق المحتوى

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · متغير وسيط

لماذا هذه هي الإجابة

يقع المتغير الوسيط على المسار السببي بين المتنبئ والنتيجة، فيفسر كيف يحدث الأثر أو لماذا.

الإجابة

D · متغير وسيط

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,58

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 217/7 = 31

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 27² + (−5)² + (−10)² + 12² + 5² + (−17)² = 1456

الانحراف المعياري

s = √(1456/6) = 15,58

الإجابة

s = 15,58

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (40 − 50)/5 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 9,539

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 10·0,1 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,25 = 27

متوسط المربعات

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 820

التباين

Var(X) = 820 − 27² = 91

σ = √91 = 9,539

الإجابة

σ = 9,539

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2668

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 84·0,3³·0,7⁶ = 84·0,027·0,1176 = 0,2668

الإجابة

P = 0,2668

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,22

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,1112 = 0,8888

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8888 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,22

الإجابة

z = 1,22

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 189,5 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

الإجابة

x = 189,51 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 10,28 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 8, t = 1,86

هامش الخطأ

E = 1,86·6,1/√9 = 3,782

الفترة

6,5 ± 3,782 → [2,718, 10,28]

الإجابة

الحد الأعلى = 10,28 mmHg

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 272

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·21/2,5)² = 271,1

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 272

الإجابة

n = 272

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (14·11,5² + 6·6,5²)/20 = 105,3

s_p = 10,26

الخطأ المعياري

SE = 10,26·√(1/15 + 1/7) = 4,696

إحصائية الاختبار

t = (58,5 − 74,9)/4,696 = −3,492

الإجابة

t = −3,492

مع df = 20، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,086؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 219

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 0,842)·7/1,5)² = 218,6

قرّب إلى الأعلى

n = 219

الإجابة

n = 219

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9977

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 329/6 = 54,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 626,8

معامل الارتباط

r = 209/√(70·626,8) = 0,9977

الإجابة

r = 0,9977

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 43,77

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 235/6 = 39,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161

خط الانحدار

b = 161/70 = 2,3

a = 39,17 − 2,3·6 = 25,37

ŷ = 25,37 + 2,3·x

التنبؤ

ŷ = 25,37 + 2,3·8 = 43,77

الإجابة

ŷ = 43,77

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,648

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 100·55/220 = 25, 100·77/220 = 35, 100·88/220 = 40

ريفي: 120·55/220 = 30, 120·77/220 = 42, 120·88/220 = 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (32 − 25)²/25 + (38 − 35)²/35 + (30 − 40)²/40 + (23 − 30)²/30 + (39 − 42)²/42 + (58 − 48)²/48

χ² = 8,648

الإجابة

χ² = 8,648

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 15,51

درجات الحرية

df = 9 − 1 = 8

الجدول

χ²_crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

الإجابة

χ²_crit = 15,507

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology