مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يصبح الخطأ المعياري للمتوسط أصغر عندما:

Aيزداد المتوسط
Bيزداد حجم العينة
Cيقل حجم العينة
Dيُقاس المتغير على المستوى الرتبي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

بعد تحليل البيانات يكتب باحث المقدمة كأن نتيجة غير متوقعة كانت متنبأً بها منذ البداية. يُسمّى ذلك:

Aالإيضاح اللاحق
Bالموازنة
Cالتعريف الإجرائي
DHARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 54, 16, 51, 31, 34.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 40. ما نسبة P القيم الأكبر من 452؟

μ = 500σ = 40x = 452

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 8 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 8p = 0,2k = 4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 88 و 115 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 115

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 40 هاتفًا، المتوسط 73,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 66 h، الانحراف المعياري المعلوم 12 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 73,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 66 hσ₂ = 12 h99%

E = h

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 20 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 3,1 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 19، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 8,907 و 2,5% فوق 32,852.

n = 20s = 3,1 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 20 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 1,13 والانحراف المعياري للفروق 1,8. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = 1,13s_d = 1,8

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 90%δ = 4σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (6, 88). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(6, 88)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · يزداد حجم العينة

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّر الخطأ المعياري مقدار تفاوت متوسطات العينات حول متوسط المجتمع، والعينات الأكبر تعطي تقديرات أدق.

الإجابة

B · يزداد حجم العينة

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّم HARKing النتائج الاستكشافية على أنها تأكيدية، فتبدو النتائج أمتن مما هي عليه، ويسهم ذلك في أزمة قابلية التكرار.

الإجابة

D · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,67

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 212/6 = 35,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−9,333)² + 18,67² + (−19,33)² + 15,67² + (−4,333)² + (−1,333)² = 1075

الانحراف المعياري

s = √(1075/5) = 14,67

الإجابة

s = 14,67

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8849

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

الإجابة

P = 0,8849

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,158

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,4

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,25 = 7,1

التباين

Var(X) = 7,1 − 2,4² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

الإجابة

σ = 1,158

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,04588

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 70·0,2⁴·0,8⁴ = 70·0,0016·0,4096 = 0,04588

الإجابة

P = 0,04588

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6295

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

الإجابة

P = 0,6295

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 256,4 g

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

العودة إلى x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

الإجابة

x = 256,41 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,362 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 73,5 − 66 = 7,5

الخطأ المعياري

SE = √(10²/40 + 12²/40) = 2,47

هامش الخطأ

E = 2,576·2,47 = 6,362

الإجابة

E = 6,362 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 4,528 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 19·3,1² = 182,6

حدّا σ²

182,6/32,852 = 5,558

182,6/8,907 = 20,5

حدّ σ

σ = √20,5 = 4,528 µm

الإجابة

σ = 4,528 µm

فترة 95% لـ σ: [2,358, 4,528] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,808

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 1,8/√20 = 0,4025

إحصائية الاختبار

t = 1,13/0,4025 = 2,808

الإجابة

t = 2,808

مع df = 19، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,093؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 54

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,282)·10/4)² = 53,55

قرّب إلى الأعلى

n = 54

الإجابة

n = 54

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9653

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 339/6 = 56,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 695,5

معامل الارتباط

r = 106,5/√(17,5·695,5) = 0,9653

الإجابة

r = 0,9653

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,05

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 396/5 = 79,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

خط الانحدار

b = 230/40 = 5,75

a = 79,2 − 5,75·5 = 50,45

ŷ = 50,45 + 5,75·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 50,45 + 5,75·6 = 84,95

البُواقي

e = 88 − 84,95 = 3,05

الإجابة

e = 3,05

تقع النقطة فوق الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 18,13

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المناوبة النهارية: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40

المناوبة الليلية: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16

إحصاءة مربع كاي

χ² = (19 − 25)²/25 + (30 − 35)²/35 + (51 − 40)²/40 + (16 − 10)²/10 + (19 − 14)²/14 + (5 − 16)²/16

χ² = 18,13

الإجابة

χ² = 18,13

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 13,33

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 24, 56

المصنع B: 24, 56

المصنع C: 24, 56

إحصاءة مربع كاي

χ² = (32 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (28 − 24)²/24 + (52 − 56)²/56 + (12 − 24)²/24 + (68 − 56)²/56

χ² = 13,33

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

13,33 > 9,210

الإجابة

χ² = 13,33

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology