مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحصل طالب على 130 في اختبار متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15. ما الدرجة المعيارية (z)؟

A0,5
B1,5
C3,0
D2,0

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُجري باحث 20 تحليلًا على مجموعة بيانات ولا يذكر إلا التحليل الذي قيمته p < 0,05. تُسمّى هذه الممارسة:

Aالتثليث
Bالتلاعب بقيمة p (P-hacking)
Cالتسجيل المسبق
Dالموازنة

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 59, 22, 24, 40, 42, 10.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 68.

μ = 60σ = 20x = 68

z =

5.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 3 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 3

P =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,4k = 4

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 50,5 و 85,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 85,5

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 86 وانحرافها المعياري s = 18. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 10x̄ = 86s = 1890%t(9) = 1,833

الحد الأدنى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 3. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 3E = 199%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 3. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 99,45. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ ≠ 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 99,45H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ < 100 عند α = 0.01 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 9. في الواقع المتوسط 96.1. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 100μ = 96,1σ = 9n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 35). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4, 35)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · 2,0

لماذا هذه هي الإجابة

‏(130 − 100) / 15 = 2. فالدرجة أعلى من المتوسط بانحرافين معياريين، أي أعلى من نحو 97–98% من الناس.

الإجابة

D · 2,0

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · التلاعب بقيمة p (P-hacking)

لماذا هذه هي الإجابة

يستغل التلاعب بقيمة p مرونة التحليل للحصول على الدلالة، فيرفع معدل الإيجابيات الكاذبة كثيرًا فوق 5%، ويقلله التسجيل المسبق والإبلاغ الشفاف.

الإجابة

B · التلاعب بقيمة p (P-hacking)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,53

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 197/6 = 32,83

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 26,17² + (−10,83)² + (−8,833)² + 7,167² + 9,167² + (−22,83)² = 1537

الانحراف المعياري

s = √(1537/5) = 17,53

الإجابة

s = 17,53

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (68 − 60)/20 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

5.الاحتمال

الإجابة: P = 0,4213

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

الإجابة

P = 0,4213

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2508

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 210·0,4⁴·0,6⁶ = 210·0,0256·0,04666 = 0,2508

الإجابة

P = 0,2508

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9063

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

الإجابة

P = 0,9063

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 75,57

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 1,833

هامش الخطأ

E = 1,833·18/√10 = 10,43

الفترة

86 ± 10,43 → [75,57, 96,43]

الإجابة

الحد الأدنى = 75,57

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 60

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·3/1)² = 59,72

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 60

الإجابة

n = 60

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,2713

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5

z = (99,45 − 100)/0,5 = −1,1

مساحة الذيل

Φ(1,1) = 0,8643

1 − Φ(1,1) = 0,1357

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,1357 = 0,2713

الإجابة

p = 0,2713

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 60,8 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 9/√36 = 1,5

x̄_c = 100 − 2,326·1,5 = 96,51

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (96,51 − 96,1)/1,5 = 0,274

القدرة

القوة = P(Z < 0.274) = 60.8%

1 − β = 60,8%

الإجابة

1 − β = 60,8%

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9198

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 276/6 = 46

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1166

معامل التحديد

r² = 274²/(70·1166) = 0,9198

الإجابة

r² = 0,9198

نحو 91,98% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −5,4

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 215/5 = 43

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

خط الانحدار

b = 104/40 = 2,6

a = 43 − 2,6·5 = 30

ŷ = 30 + 2,6·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 30 + 2,6·4 = 40,4

البُواقي

e = 35 − 40,4 = −5,4

الإجابة

e = −5,4

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 12,5

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الدواء الجديد: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72

الدواء الوهمي: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48

إحصاءة مربع كاي

χ² = (36 − 48)²/48 + (84 − 72)²/72 + (44 − 32)²/32 + (36 − 48)²/48

χ² = 12,5

الإجابة

χ² = 12,5

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,12

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 30, 10

المصنع B: 75, 25

المصنع C: 45, 15

إحصاءة مربع كاي

χ² = (30 − 30)²/30 + (10 − 10)²/10 + (81 − 75)²/75 + (19 − 25)²/25 + (39 − 45)²/45 + (21 − 15)²/15

χ² = 5,12

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,12 < 9,210

الإجابة

χ² = 5,12

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology