مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يريد باحث أن يختبر ما إذا كانت هناك علاقة بين الجنس (ذكر/أنثى) ونوع الأفلام المفضل (أربع فئات). أي اختبار مناسب؟

Aمعامل ارتباط بيرسون
Bاختبار كاي تربيع للاستقلال
Cاختبار t للعينات المزدوجة
Dتحليل التباين الأحادي

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

في دراسات ميلغرام للطاعة اعتقد المشاركون أنهم يعطون صدمات كهربائية حقيقية. أي قضية أخلاقية تُثار بأكثر الطرق مباشرة، وكيف عولجت جزئيًا؟

Aاستخدام الأطفال، وعولج بموافقة الوالدين
Bانعدام السرية، وعولج بنشر الأسماء
Cغياب مجموعة ضابطة، وعولج بتوزيع المشاركين عشوائيًا على الشروط
Dالخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 23, 46, 60, 56, 25, 44.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 154.

μ = 170σ = 20x = 154

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,15, 0,15

σ =

6.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €15 باحتمال 0,1 و€50 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€15: p = 0,1€50: p = 0,01

E(G) = €

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 757,9 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 15% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 108,5 وانحرافها المعياري s = 19. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 21x̄ = 108,5s = 1990%t(20) = 1,725

E =

10.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,01 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0195%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 120؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 24. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 126,36. اختبر H₀: μ = 120 مقابل H₁: μ ≠ 120. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 120σ = 24n = 64x̄ = 126,36H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 81 قياسًا متوسطها 47,3. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 47,3σ = 20n = 8195%

U =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 109Σx² = 91Σy² = 2151Σxy = 329

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 2002 × 2

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 8 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 8

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · اختبار كاي تربيع للاستقلال

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار كاي تربيع التكرارات الملاحظة بالمتوقعة في جدول توافق لاختبار ما إذا كان متغيران فئويان مرتبطين.

الإجابة

B · اختبار كاي تربيع للاستقلال

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: D · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل

لماذا هذه هي الإجابة

خُدع المشاركون بشأن الصدمات وأظهر كثير منهم ضغطًا شديدًا. وأجرى ميلغرام إيضاحًا لاحقًا للمشاركين والتقوا «المتعلّم»، ووجدت متابعة أن معظمهم كانوا سعداء بمشاركتهم، لكن الأخلاقيات لا تزال موضع جدل.

الإجابة

D · الخداع والضيق المحتمل، وعولجا بإيضاح لاحق شامل

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,42

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 254/6 = 42,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−19,33)² + 3,667² + 17,67² + 13,67² + (−17,33)² + 1,667² = 1189

الانحراف المعياري

s = √(1189/5) = 15,42

الإجابة

s = 15,42

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,8

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (154 − 170)/20 = −0,8

الإجابة

z = −0,8

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,374

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,75

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,95

التباين

Var(X) = 4,95 − 1,75² = 1,887

σ = √1,887 = 1,374

الإجابة

σ = 1,374

6.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −3 €

النتائج الصافية

G: 10 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

القيمة المتوقعة

E(G) = 10·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −3 €

الإجابة

E(G) = −3 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2119

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

الإجابة

P = 0,2119

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 458 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,15

z من الجدول

z ≈ −1,04

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

الإجابة

x = 458 h

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 7,152

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 1,725

هامش الخطأ

E = 1,725·19/√21 = 7,152

الإجابة

E = 7,152

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

قرّب إلى الأعلى

n = 9604

الإجابة

n = 9604

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,03401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (126,36 − 120)/3 = 2,12

مساحة الذيل

Φ(2,12) = 0,9830

1 − Φ(2,12) = 0,0170

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0170 = 0,03401

الإجابة

p = 0,03401

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 51,66

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·20/√81 = 4,356

حد الفترة

U = 47,3 + 4,356 = 51,66

الإجابة

U = 51,66

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9602

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 329 − 21·109/6 = −52,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2151 − 109²/6 = 170,8

معامل الارتباط

r = −52,5/√(17,5·170,8) = −0,9602

الإجابة

r = −0,9602

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 17,35

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 81/5 = 16,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

خط الانحدار

b = −23/10 = −2,3

a = 16,2 − (−2,3)·3 = 23,1

ŷ = 23,1 − 2,3·x

التنبؤ

ŷ = 23,1 + (−2,3)·2,5 = 17,35

الإجابة

ŷ = 17,35

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 5,861

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الرجال: 120·70/200 = 42, 120·130/200 = 78

النساء: 80·70/200 = 28, 80·130/200 = 52

إحصاءة مربع كاي

χ² = (34 − 42)²/42 + (86 − 78)²/78 + (36 − 28)²/28 + (44 − 52)²/52

χ² = 5,861

الإجابة

χ² = 5,861

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 7

درجات الحرية

df = 8 − 1 = 7

الإجابة

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology