الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
معامل ألفا كرونباخ البالغ 0,88 لمقياس قلق من 15 بندًا يدل على:
- Aاتساق داخلي جيد للبنود
- Bأن للمقياس تأثيرًا دالًا في القلق
- Cأن الدرجات مستقرة على مدى ستة أشهر
- Dأن المقياس يتنبأ جيدًا بالقلق المستقبلي
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
في النظرية المجذّرة (grounded theory) يستمر جمع البيانات حتى:
- Aالحصول على قيمة p أقل من 0,05
- Bتأكيد الفرضية الأصلية
- Cبلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
- Dمقابلة 1,000 مشارك على الأقل
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 51, 26, 28, 50, 46, 37.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 25. ما نسبة P القيم الأكبر من 450؟
μ = 500σ = 25x = 450
P =
5.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
8 / 6
P =
6.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 20. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25Y = 0,5X + 20
σY =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8664. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,8664
z =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).
μ = 250σ = 5P = 10%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 21 مفردة متوسطها 20,5 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.
n = 21x̄ = 20,5s = 5,595%t(20) = 2,086
E =
10.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 30 kg، الانحراف المعياري 10 kg. مجموعة القطع 2: 15 قطعة، المتوسط 29,5 kg، الانحراف المعياري 8 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 30s₁ = 10n₂ = 15x̄₂ = 29,5s₂ = 895%t(24) = 2,064
الحد الأعلى = kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 500؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 48. متوسط عينة عشوائية من 144 مشاهدة هو 504,72. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 500σ = 48n = 144x̄ = 504,72H₁: μ > μ₀
p =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ < 200 عند α = 0.05 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12.5. في الواقع المتوسط 195.5. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.
μ₀ = 200μ = 195,5σ = 12,5n = 25α = 0,05
β = %
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 5Σx = 35Σy = 207Σx² = 285Σy² = 8965Σxy = 1573
r =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 89؟
n = 6ŷ = 89
x =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.
N = 1402 × 3
χ² =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 4 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · اتساق داخلي جيد للبنود
لماذا هذه هي الإجابة
يقدّر ألفا كرونباخ الاتساق الداخلي، وتُعد القيم في حدود 0,7 أو أعلى مقبولة عادةً. ولا يُظهر وحده الصدق.
الإجابة
A · اتساق داخلي جيد للبنود
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: C · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
لماذا هذه هي الإجابة
تطوّر النظرية المجذّرة النظرية استقرائيًا، فتجمع البيانات وترمّزها معًا، وتتوقف عن المعاينة عندما لا تعود البيانات الجديدة تطوّر الفئات.
الإجابة
C · بلوغ التشبع النظري حين لا تضيف البيانات الجديدة فئات جديدة
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 11
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 238/6 = 39,67
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 11,33² + (−13,67)² + (−11,67)² + 10,33² + 6,333² + (−2,667)² = 605,3
الانحراف المعياري
s = √(605,3/5) = 11
الإجابة
s = 11
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9772
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
5.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3077
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
الإجابة
P = 0,3077
6.الاحتمال
الإجابة: σY = 0,5831
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,2, Var(X) = 1,36, σX = 1,166
التغيير الخطي
σY = |0,5|·1,166 = 0,5831
الإجابة
σY = 0,5831
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,2 + 20 = 20,6.
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 1,5
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,8664)/2 = 0,9332
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9332 داخل الجدول واقرأ z.
z = 1,50
الإجابة
z = 1,50
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 243,6 g
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
العودة إلى x
x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g
الإجابة
x = 243,59 g
9.فترات الثقة
الإجابة: E = 2,504
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 20, t = 2,086
هامش الخطأ
E = 2,086·5,5/√21 = 2,504
الإجابة
E = 2,504
10.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 7,782 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (10·10² + 14·8²)/24 = 79
sp = 8,888
هامش الخطأ
E = 2,064·8,888·√(1/11 + 1/15) = 7,282
الفترة
0,5 ± 7,282 → [−6,782, 7,782]
الإجابة
الحد الأعلى = 7,782 kg
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 48/√144 = 4
z = (504,72 − 500)/4 = 1,18
مساحة الذيل
Φ(1,18) = 0,8810
1 − Φ(1,18) = 0,1190
القيمة الاحتمالية
p = 0,119
الإجابة
p = 0,119
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: β = 43,84 %
قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
متوسط العينة الحرج
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 200 − 1,645·2,5 = 195,9
z وفق المتوسط الحقيقي
z = (195,9 − 195,5)/2,5 = 0,155
الخطأ من النوع الثاني
القوة = P(Z < 0.155) = 56.16%
β = 100% − 56,16% = 43,84%
الإجابة
β = 43,84%
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9862
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 1573 − 35·207/5 = 124
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 8965 − 207²/5 = 395,2
معامل الارتباط
r = 124/√(40·395,2) = 0,9862
الإجابة
r = 0,9862
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 17,07
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 653/6 = 108,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 353
خط الانحدار
b = 353/70 = 5,043
a = 108,8 − 5,043·21 = 2,933
ŷ = 2,933 + 5,043·x
حلّ لإيجاد x
x = (89 − 2,933)/5,043 = 17,07
الإجابة
x = 17,07
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 21,96
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
حضري: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40
ريفي: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16
إحصاءة مربع كاي
χ² = (22 − 25)²/25 + (26 − 35)²/35 + (52 − 40)²/40 + (13 − 10)²/10 + (23 − 14)²/14 + (4 − 16)²/16
χ² = 21,96
الإجابة
χ² = 21,96
df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ²crit = 5,991
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
درجات الحرية
df = 4 − 1 − 1 = 2
الجدول
χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991
الإجابة
χ²crit = 5,991
ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology