مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يرسل باحث استبيانًا إلى جميع الطلاب، ثم يطلب من المستجيبين استقطاب أصدقاء يستخدمون أيضًا تطبيقًا نادرًا للنوم. أي طريقة معاينة تُستخدم في الخطوة الثانية؟

Aمعاينة كرة الثلج
Bالمعاينة العشوائية
Cالمعاينة الطبقية
Dالمعاينة المنتظمة

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

بعد تحليل البيانات يكتب باحث المقدمة كأن نتيجة غير متوقعة كانت متنبأً بها منذ البداية. يُسمّى ذلك:

Aالتعريف الإجرائي
Bالموازنة
CHARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)
Dالإيضاح اللاحق

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 44, 13, 26, 24, 58, 15.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 150.

μ = 170σ = 10x = 150

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 6 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 6p = 0,5k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6157. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6157

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

9.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 60 هاتفًا، المتوسط 115,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 7 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 129 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 115,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 129 hσ₂ = 10 h90%

الحد الأدنى = h

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 35. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 35E = 390%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 205,3 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 205,3s = 15n = 36

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 3 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 16. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 80%δ = 3σ = 16z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 13). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 13)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، السيارة».

مجموع الصف = 83مجموع العمود = 50N = 150

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: A · معاينة كرة الثلج

لماذا هذه هي الإجابة

معاينة كرة الثلج مفيدة للمجموعات التي يصعب الوصول إليها، لكن من المرجح أن تتشارك العينة خصائص معينة فلا تكون ممثِّلة.

الإجابة

A · معاينة كرة الثلج

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

لماذا هذه هي الإجابة

يقدّم HARKing النتائج الاستكشافية على أنها تأكيدية، فتبدو النتائج أمتن مما هي عليه، ويسهم ذلك في أزمة قابلية التكرار.

الإجابة

C · HARKing (صياغة الفرضيات بعد معرفة النتائج)

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,58

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 180/6 = 30

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 14² + (−17)² + (−4)² + (−6)² + 28² + (−15)² = 1546

الانحراف المعياري

s = √(1546/5) = 17,58

الإجابة

s = 17,58

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (150 − 170)/10 = −2

الإجابة

z = −2

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,7

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

التباين

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

الإجابة

Var(X) = 0,7

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3125

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 20·0,5³·0,5³ = 20·0,125·0,125 = 0,3125

الإجابة

P = 0,3125

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,87

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,6157)/2 = 0,8078

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8078 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,87

الإجابة

z = 0,87

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 166,5 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

الإجابة

x = 166,49 cm

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −15,86 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 115,5 − 129 = −13,5

الخطأ المعياري

SE = √(7²/60 + 10²/80) = 1,438

هامش الخطأ

E = 1,645·1,438 = 2,365

الفترة

−13,5 ± 2,365 → [−15,86, −11,14]

الإجابة

الحد الأدنى = −15,86 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 369

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·35/3)² = 368,3

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 369

الإجابة

n = 369

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,12

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

إحصائية الاختبار

t = (205,3 − 200)/2,5 = 2,12

الإجابة

t = 2,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 286

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 0,842)·16/3)² = 285,5

قرّب إلى الأعلى

n = 286

الإجابة

n = 286

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9774

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 50/5 = 10

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114

معامل الارتباط

r = 66/√(40·114) = 0,9774

الإجابة

r = 0,9774

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −1,95

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 82/5 = 16,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

خط الانحدار

b = −29/10 = −2,9

a = 16,4 − (−2,9)·3 = 25,1

ŷ = 25,1 − 2,9·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 25,1 + (−2,9)·3,5 = 14,95

البُواقي

e = 13 − 14,95 = −1,95

الإجابة

e = −1,95

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 27,67

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 83·50/150 = 27,67

الإجابة

E = 27,67

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 15,51

درجات الحرية

df = 9 − 1 = 8

الجدول

χ²_crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

الإجابة

χ²_crit = 15,507

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology