مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يكمل المشاركون الخمسة والعشرون أنفسهم اختبار ذاكرة قبل الكافيين وبعده، والدرجات فئوية وطبيعية تقريبًا. أي اختبار مناسب؟

Aاختبار كاي تربيع
Bاختبار t للعينات المستقلة
Cاختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)
Dاختبار مان–ويتني U

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

لماذا يرى باحثون كثيرون أنه ينبغي الإبلاغ عن قيم p مع أحجام الأثر وفترات الثقة؟

Aلأن قيم p تُظهر احتمال صحة الفرضية
Bلأن أحجام الأثر تجعل حجم العينة غير مؤثر في الدلالة
Cلأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته
Dلأن فترات الثقة لا تلزم إلا في البحث النوعي

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 44, 46, 49, 28, 12, 46.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 92,5؟

μ = 70σ = 15x = 92,5

P =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2

σ =

6.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 8 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,7، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 3 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 8p = 0,7k = 3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0455. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0455

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 63,5 وانحرافها المعياري s = 9. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 8x̄ = 63,5s = 990%t(7) = 1,895

الحد الأعلى =

10.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 17. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 17E = 590%

n =

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 47,8 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,8s = 10n = 100

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 501,9. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 501,9σ = 8n = 3690%

L =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، الحافلة».

مجموع الصف = 87مجموع العمود = 83N = 183

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 4 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 4

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

لماذا هذه هي الإجابة

يقارن اختبار t المزدوج المتوسطات لدى المشاركين أنفسهم في شرطين، مستخدمًا الفروق داخل كل شخص.

الإجابة

C · اختبار t للعينات المزدوجة (المترابطة)

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

لماذا هذه هي الإجابة

تتوقف قيمة p كثيرًا على حجم العينة، ولا تدل إلا على مدى إثارة البيانات للدهشة في ظل الفرضية الصفرية. أما أحجام الأثر فتُظهر المقدار، والفترات تُظهر الدقة.

الإجابة

C · لأن قيمة p لا تُظهر حجم الأثر أو دقته

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,56

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 225/6 = 37,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 6,5² + 8,5² + 11,5² + (−9,5)² + (−25,5)² + 8,5² = 1060

الانحراف المعياري

s = √(1060/5) = 14,56

الإجابة

s = 14,56

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

5.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,071

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,45

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,2 = 7,15

التباين

Var(X) = 7,15 − 2,45² = 1,147

σ = √1,147 = 1,071

الإجابة

σ = 1,071

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,04668

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 3) = 56·0,7³·0,3⁵ = 56·0,343·0,00243 = 0,04668

الإجابة

P = 0,04668

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,69

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0455 = 0,9545

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9545 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,69

الإجابة

z = 1,69

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 69,53

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 1,895

هامش الخطأ

E = 1,895·9/√8 = 6,03

الفترة

63,5 ± 6,03 → [57,47, 69,53]

الإجابة

الحد الأعلى = 69,53

10.فترات الثقة

الإجابة: n = 32

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·17/5)² = 31,28

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 32

الإجابة

n = 32

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

إحصائية الاختبار

t = (47,8 − 50)/1 = −2,2

الإجابة

t = −2,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 499,7

هامش الخطأ

E = 1,645·8/√36 = 2,193

حد الفترة

L = 501,9 − 2,193 = 499,7

الإجابة

L = 499,7

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9167

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 84/5 = 16,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118,8

معامل التحديد

r² = −33²/(10·118,8) = 0,9167

الإجابة

r² = 0,9167

نحو 91,67% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 58,83

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 353/6 = 58,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74,5

خط الانحدار

b = 74,5/17,5 = 4,257

a = 58,83 − 4,257·5,5 = 35,42

ŷ = 35,42 + 4,257·x

التنبؤ

ŷ = 35,42 + 4,257·5,5 = 58,83

الإجابة

ŷ = 58,83

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 39,46

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 87·83/183 = 39,46

الإجابة

E = 39,46

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

درجات الحرية

df = 4 − 1 = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology