الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
اختبارات مربع كاي
- إحصائية الاختبار
- χ² = Σ(O − E)²/E
- جودة المطابقة
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- الاستقلالية
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- القيم الحرجة (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- القرار
- ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit
2مسائل تدريبية
1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة
يقارن باحث عدوانية الأطفال قبل وصول التلفزيون إلى بلدة نائية وبعده، ولم يتحكم الباحث في وصول التلفزيون. هذه:
- Aتجربة طبيعية
- Bمسح ارتباطي لمشاهدة التلفزيون
- Cتجربة مختبرية
- Dتجربة ميدانية
2.مناهج البحث في علم النفسصعبة
يتناول مشارك دواءً أو حبة سكر دون أن يعرف أيهما، بينما يعرف الباحث ذلك. ما هذا التصميم، وأي تحيّز يظل ممكنًا؟
- Aتجربة مفتوحة؛ وآثار الدواء الوهمي مضبوطة تمامًا
- Bأحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
- Cأحادي التعمية؛ وخصائص الطلب مستحيلة
- Dمزدوج التعمية؛ ولا تحيّز ممكنًا
3.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 13, 15, 52, 41, 12, 44.
n = 6
s =
4.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 42.
μ = 50σ = 8x = 42
z =
5.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,15, 0,2, 0,2, 0,3
Var(X) =
6.الاحتمالصعبة
يُختبر 11 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 11p = 0,6
P =
7.التوزيع الطبيعيمتوسطة
كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 465,9 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 465.9 kg
P =
8.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 30% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
9.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 13 مفردة متوسطها 86,5 وانحرافها المعياري s = 14. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.
n = 13x̄ = 86,5s = 1499%t(12) = 3,055
الحد الأعلى =
10.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 23E = 190%
n =
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 120,5 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,5s = 4n = 36
t =
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 135 من 300 مريضًا على العلاج A، و 120 من 250 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 120n₂ = 250
z =
13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 26). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 26)
e =
15.اختبارات مربع كايمتوسطة
يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، مرتفع».
مجموع الصف = 84مجموع العمود = 45N = 196
E =
16.اختبارات مربع كايصعبة
يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.
N = 2603 × 2α = 0,05
χ² =
3المحاليل
1.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: A · تجربة طبيعية
لماذا هذه هي الإجابة
في التجربة الطبيعية يتغير المتغير المستقل بسبب أحداث خارجة عن تحكم الباحث. ويكون الصدق البيئي مرتفعًا، لكن التوزيع العشوائي غير ممكن.
الإجابة
A · تجربة طبيعية
2.مناهج البحث في علم النفس
الإجابة: B · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
لماذا هذه هي الإجابة
في التصميم أحادي التعمية لا يعرف المشاركون شرطهم، مما يضبط توقعات الدواء الوهمي. لكن معرفة الباحث قد تظل تؤثر في النتائج، لذا تُفضَّل التصاميم مزدوجة التعمية.
الإجابة
B · أحادي التعمية؛ ولا يزال تحيّز المجرِّب ممكنًا
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 18,1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 177/6 = 29,5
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−16,5)² + (−14,5)² + 22,5² + 11,5² + (−17,5)² + 14,5² = 1638
الانحراف المعياري
s = √(1638/5) = 18,1
الإجابة
s = 18,1
4.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (42 − 50)/8 = −1
الإجابة
z = −1
5.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 2,027
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,2 + 5·0,3 = 3,35
متوسط المربعات
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,2 + 25·0,3 = 13,25
التباين
Var(X) = 13,25 − 3,35² = 2,027
الإجابة
Var(X) = 2,027
6.الاحتمال
الإجابة: P = 0,000734
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,411 = 4,194 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 11·0,6·0,410 = 0,0006921
اجمعها
P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734
الإجابة
P = 0,000734
7.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,06681
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
توزيع المجموع الكلي
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (465,9 − 510)/29,39 = −1,5
الاحتمال
P = Φ(−1,5) = 0,06681
الإجابة
P = 0,06681
8.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 252,6 g
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,7
z من الجدول
z ≈ 0,52
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g
الإجابة
x = 252,6 g
9.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 98,36
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 12, t = 3,055
هامش الخطأ
E = 3,055·14/√13 = 11,86
الفترة
86,5 ± 11,86 → [74,64, 98,36]
الإجابة
الحد الأعلى = 98,36
10.فترات الثقة
الإجابة: n = 1432
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·23/1)² = 1431
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 1432
الإجابة
n = 1432
11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = 0,75
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
إحصائية الاختبار
t = (120,5 − 120)/0,6667 = 0,75
الإجابة
t = 0,75
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −0,7025
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 135/300 = 0,45
p̂₂ = 120/250 = 0,48
p̂ = 255/550 = 0,4636
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,4636·0,5364·(1/300 + 1/250)) = 0,0427
إحصائية الاختبار
z = (0,45 − 0,48)/0,0427 = −0,7025
الإجابة
z = −0,7025
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
13.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9762
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 725/6 = 120,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 469
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3219
معامل التحديد
r² = 469²/(70·3219) = 0,9762
الإجابة
r² = 0,9762
نحو 97,62% من التباين في y يفسّره الخط.
14.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = 1,95
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
خط الانحدار
b = −31/10 = −3,1
a = 19,4 − (−3,1)·3 = 28,7
ŷ = 28,7 − 3,1·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 28,7 + (−3,1)·1,5 = 24,05
البُواقي
e = 26 − 24,05 = 1,95
الإجابة
e = 1,95
تقع النقطة فوق الخط.
15.اختبارات مربع كاي
الإجابة: E = 19,29
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرار المتوقَّع
E = 84·45/196 = 19,29
الإجابة
E = 19,29
16.اختبارات مربع كاي
الإجابة: χ² = 28,43
اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.
التكرارات المتوقَّعة
المصنع A: 48, 32
المصنع B: 60, 40
المصنع C: 48, 32
إحصاءة مربع كاي
χ² = (64 − 48)²/48 + (16 − 32)²/32 + (61 − 60)²/60 + (39 − 40)²/40 + (31 − 48)²/48 + (49 − 32)²/32
χ² = 28,43
القرار
df = 2, χ²crit = 5,991
28,43 > 5,991
الإجابة
χ² = 28,43
χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology