مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

خصائص الطلب (demand characteristics) هي:

Aالمطالب الرسمية التي تفرضها لجنة الأخلاقيات قبل بدء الدراسة
Bإشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم
Cخصائص العيّنة
Dالمتطلبات الإحصائية للاختبار

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

ما الهدف الرئيسي من التوزيع العشوائي على الشروط في التجربة؟

Aجعل العيّنة ممثِّلة للمجتمع المستهدف لتُعمَّم النتائج
Bتوزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج
Cزيادة معدل الاستجابة
Dضمان ألا يعرف المشاركون الهدف

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 31, 13, 49, 54, 43, 43.

n = 7

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 75.

μ = 60σ = 10x = 75

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,3. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 10p = 0,3

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9281. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9281

z =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 39 وانحرافها المعياري s = 16. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 30x̄ = 39s = 1699%t(29) = 2,756

E =

10.فترات الثقةصعبة

لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 8,6 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.

n = 21s = 8,6 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 507,2 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 507,2s = 15n = 25

t =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 80%. الانحراف المعياري 20. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 80%δ = 4σ = 20z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7, 13). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(7, 13)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الحافلة».

مجموع الصف = 94مجموع العمود = 60N = 153

E =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

لماذا هذه هي الإجابة

إذا استنتج المشاركون الفرضية فقد يتصرفون لتأكيدها أو إفسادها، مما يهدد الصدق. ويقلّل الخداع وإجراءات التعمية من ذلك.

الإجابة

B · إشارات تجعل المشاركين يخمّنون الهدف ويغيّرون سلوكهم

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج

لماذا هذه هي الإجابة

يوازن التوزيع العشوائي الفروق الفردية بين الشروط ويدعم الاستنتاجات السببية، أما المعاينة العشوائية فتتعلق بالتعميم على المجتمع.

الإجابة

B · توزيع متغيرات المشاركين بالتساوي كي لا تُربك النتائج

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,37

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 243/7 = 34,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−24,71)² + (−3,714)² + (−21,71)² + 14,29² + 19,29² + 8,286² + 8,286² = 1809

الانحراف المعياري

s = √(1809/6) = 17,37

الإجابة

s = 17,37

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (75 − 60)/10 = 1,5

الإجابة

z = 1,5

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,7

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

التباين

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

الإجابة

Var(X) = 0,7

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1493

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,7¹⁰ = 0,02825

P(X = 1) = 10·0,3·0,7⁹ = 0,1211

اجمعها

P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493

الإجابة

P = 0,1493

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,8

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9281)/2 = 0,9641

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9641 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,80

الإجابة

z = 1,80

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 254,2 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

الإجابة

x = 254,21 g

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 8,051

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,756

هامش الخطأ

E = 2,756·16/√30 = 8,051

الإجابة

E = 8,051

10.فترات الثقة

الإجابة: σ = 6,579 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 20·8,6² = 1479

حدّا σ²

1479/34,17 = 43,29

1479/9,591 = 154,2

حدّ σ

σ = √43,29 = 6,579 µm

الإجابة

σ = 6,579 µm

فترة 95% لـ σ: [6,579, 12,42] µm.

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,4

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

إحصائية الاختبار

t = (507,2 − 500)/3 = 2,4

الإجابة

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 251

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 0,842)·20/4)² = 250,9

قرّب إلى الأعلى

n = 251

الإجابة

n = 251

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,8446

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 74

معامل التحديد

r² = −25²/(10·74) = 0,8446

الإجابة

r² = 0,8446

نحو 84,46% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −5,2

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

خط الانحدار

b = 120/40 = 3

a = 15,2 − 3·6 = −2,8

ŷ = −2,8 + 3·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −2,8 + 3·7 = 18,2

البُواقي

e = 13 − 18,2 = −5,2

الإجابة

e = −5,2

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 36,86

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 94·60/153 = 36,86

الإجابة

E = 36,86

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 62,29

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 60, 40

المصنع B: 48, 32

المصنع C: 60, 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (77 − 60)²/60 + (23 − 40)²/40 + (62 − 48)²/48 + (18 − 32)²/32 + (29 − 60)²/60 + (71 − 40)²/40

χ² = 62,29

القرار

df = 2, χ²_crit = 9,210

62,29 > 9,210

الإجابة

χ² = 62,29

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology