مناهج البحث والإحصاء في علم النفس: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.مناهج البحث في علم النفسمتوسطة

يحصل طالب على 130 في اختبار متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15. ما الدرجة المعيارية (z)؟

A3,0
B2,0
C0,5
D1,5

2.مناهج البحث في علم النفسصعبة

يُظهر تحليل تباين عاملي 2 × 3 أن دواءً يحسّن الذاكرة لدى الشباب لكن لا يحسّنها لدى كبار السن. ما الذي وُجد؟

Aأثر رئيسي للعمر فقط
Bتفاعل بين الدواء والعمر
Cأثر الأرضية
Dخطأ من النوع الأول

3.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 37, 17, 53, 29, 43.

n = 6

s =

4.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 65.

μ = 50σ = 15x = 65

z =

5.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,1, 0,2

Var(X) =

6.الاحتمالصعبة

يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 10p = 0,1

P =

7.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 10 منها 401,9 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 401,9 g

P =

8.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 20 مفردة متوسطها 57,5 وانحرافها المعياري s = 15. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.

n = 20x̄ = 57,5s = 1599%t(19) = 2,861

E =

10.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 8 قطعة، متوسط المحصول 37,5 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. مجموعة القطع 2: 23 قطعة، المتوسط 27 kg، الانحراف المعياري 10 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 37,5s₁ = 2,5n₂ = 23x̄₂ = 27s₂ = 1099%t(29) = 2,756

الحد الأدنى = kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 12. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 95,8. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ ≠ 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 12n = 36x̄ = 95,8H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 90 من 200 مريضًا على العلاج A، و 32 من 100 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 32n₂ = 100

z =

13.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

14.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (6,5, 59). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(6,5, 59)

e =

15.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1002 × 3

χ² =

16.اختبارات مربع كايصعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

3 × 4

df =

3المحاليل

1.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · 2,0

لماذا هذه هي الإجابة

‏(130 − 100) / 15 = 2. فالدرجة أعلى من المتوسط بانحرافين معياريين، أي أعلى من نحو 97–98% من الناس.

الإجابة

B · 2,0

2.مناهج البحث في علم النفس

الإجابة: B · تفاعل بين الدواء والعمر

لماذا هذه هي الإجابة

يحدث التفاعل عندما يختلف أثر عامل ما باختلاف مستويات عامل آخر، وهنا يتوقف أثر الدواء على الفئة العمرية.

الإجابة

B · تفاعل بين الدواء والعمر

3.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,65

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 200/6 = 33,33

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−12,33)² + 3,667² + (−16,33)² + 19,67² + (−4,333)² + 9,667² = 931,3

الانحراف المعياري

s = √(931,3/5) = 13,65

الإجابة

s = 13,65

4.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (65 − 50)/15 = 1

الإجابة

z = 1

5.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,648

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,2 = 2,95

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,2 = 10,35

التباين

Var(X) = 10,35 − 2,95² = 1,648

الإجابة

Var(X) = 1,648

6.الاحتمال

الإجابة: P = 0,7361

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

اجمعها

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

الإجابة

P = 0,7361

7.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (401,9 − 400)/3,795 = 0,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

8.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

9.فترات الثقة

الإجابة: E = 9,596

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 19, t = 2,861

هامش الخطأ

E = 2,861·15/√20 = 9,596

الإجابة

E = 9,596

10.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 0,5496 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (7·2,5² + 22·10²)/29 = 77,37

s_p = 8,796

هامش الخطأ

E = 2,756·8,796·√(1/8 + 1/23) = 9,95

الفترة

10,5 ± 9,95 → [0,5496, 20,45]

الإجابة

الحد الأدنى = 0,5496 kg

11.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,03573

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (95,8 − 100)/2 = −2,1

مساحة الذيل

Φ(2,1) = 0,9821

1 − Φ(2,1) = 0,0179

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0179 = 0,03573

الإجابة

p = 0,03573

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

12.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,161

نسبتا العينتين

p̂₁ = 90/200 = 0,45

p̂₂ = 32/100 = 0,32

p̂ = 122/300 = 0,4067

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,4067·0,5933·(1/200 + 1/100)) = 0,06016

إحصائية الاختبار

z = (0,45 − 0,32)/0,06016 = 2,161

الإجابة

z = 2,161

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

13.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9081

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 128/6 = 21,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 49,33

معامل التحديد

r² = −28²/(17,5·49,33) = 0,9081

الإجابة

r² = 0,9081

نحو 90,81% من التباين في y يفسّره الخط.

14.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −3,6

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 274/5 = 54,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

خط الانحدار

b = 52/10 = 5,2

a = 54,8 − 5,2·5 = 28,8

ŷ = 28,8 + 5,2·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 28,8 + 5,2·6,5 = 62,6

البُواقي

e = 59 − 62,6 = −3,6

الإجابة

e = −3,6

تقع النقطة تحت الخط.

15.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,905

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

ريفي: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21

إحصاءة مربع كاي

χ² = (8 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14 + (12 − 12)²/12 + (30 − 27)²/27 + (18 − 21)²/21

χ² = 1,905

الإجابة

χ² = 1,905

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

16.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 6

درجات الحرية

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

الإجابة

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology